Trojuholník 9 18 21

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 18 c = 21

Obsah trojuholníka: S = 80,498844719
Obvod trojuholníka: o = 48
Semiperimeter (poloobvod): s = 24

Uhol ∠ A = α = 25,20987652968° = 25°12'32″ = 0,44399759548 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,68221373411 rad

Výška trojuholníka: v_a = 17,889854382
Výška trojuholníka: v_b = 8,944427191
Výška trojuholníka: v_c = 7,667651878

Ťažnica: t_a = 19,03328663107
Ťažnica: t_b = 13,4166407865
Ťažnica: t_c = 9,60546863561

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,35441019662
Polomer opísanej kružnice: R = 10,56554211937

Súradnice vrcholov: A[21; 0] B[0; 0] C[4,71442857143; 7,667651878]
Ťažisko: T[8,57114285714; 2,556550626]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[10,5; -1,17439356882]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,35441019662]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,79112347032° = 154°47'28″ = 0,44399759548 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,68221373411 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 18 c = 21

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 18 + 21 = 48

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{4 8}{2} = 24

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 24 (24 - 9) (24 - 18) (24 - 21) S = 6480 = 80, 5

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{9} = 17, 89 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{1 8} = 8, 94 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 0 , 5}{2 1} = 7, 67

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 8 ^{2} + 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 1 8 \cdot 2 1}) = 25 ° 1 2^{'} 32 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 1 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 1}) = 58 ° 2 4^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 25 ° 1 2^{'} 32 " - 58 ° 2 4^{'} 43 " = 96 ° 2 2^{'} 46 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 0 , 5}{2 4} = 3, 35

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 1 8 \cdot 2 1}{4 \cdot 3 , 3 5 4 \cdot 2 4} = 10, 57

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 8 ^{2} + 2 \cdot 2 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 19, 033 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 1 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 8 ^{2}}{2} = 13, 416 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 8 ^{2} - 2 1 ^{2}}{2} = 9, 605

Vypočítať ďaľší trojuholník