Trojuholník 9 21 24
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 21 c = 24Obsah trojuholníka: S = 93,53107436087
Obvod trojuholníka: o = 54
Semiperimeter (poloobvod): s = 27
Uhol ∠ A = α = 21,78767892983° = 21°47'12″ = 0,38802512067 rad
Uhol ∠ B = β = 60° = 1,04771975512 rad
Uhol ∠ C = γ = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,71441438957 rad
Výška trojuholníka: va = 20,78546096908
Výška trojuholníka: vb = 8,90876898675
Výška trojuholníka: vc = 7,79442286341
Ťažnica: ta = 22,0966379794
Ťažnica: tb = 14,77332867027
Ťažnica: tc = 10,81766538264
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,46441016151
Polomer opísanej kružnice: R = 12,1244355653
Súradnice vrcholov: A[24; 0] B[0; 0] C[4,5; 7,79442286341]
Ťažisko: T[9,5; 2,59880762114]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12; -1,73220508076]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 3,46441016151]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 158,21332107017° = 158°12'48″ = 0,38802512067 rad
∠ B' = β' = 120° = 1,04771975512 rad
∠ C' = γ' = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,71441438957 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=21 c=24
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+21+24=54
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254=27
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27(27−9)(27−21)(27−24) S=8748=93,53
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 93,53=20,78 vb=b2 S=212⋅ 93,53=8,91 vc=c2 S=242⋅ 93,53=7,79
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 24212+242−92)=21°47′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2492+242−212)=60° γ=180°−α−β=180°−21°47′12"−60°=98°12′48"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=2793,53=3,46
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,464⋅ 279⋅ 21⋅ 24=12,12
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 242−92=22,096 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 242+2⋅ 92−212=14,773 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 212−242=10,817
Vypočítať ďaľší trojuholník