Trojuholník 9 21 25
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 21 c = 25Obsah trojuholníka: S = 90,92440754696
Obvod trojuholníka: o = 55
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,5
Uhol ∠ A = α = 20,26659019313° = 20°15'57″ = 0,35437067146 rad
Uhol ∠ B = β = 53,92218000282° = 53°55'18″ = 0,94111129491 rad
Uhol ∠ C = γ = 105,81222980405° = 105°48'44″ = 1,84767729899 rad
Výška trojuholníka: va = 20,20553501044
Výška trojuholníka: vb = 8,6599435759
Výška trojuholníka: vc = 7,27439260376
Ťažnica: ta = 22,64439837484
Ťažnica: tb = 15,58804364509
Ťažnica: tc = 10,23547447452
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,30663300171
Polomer opísanej kružnice: R = 12,9921608591
Súradnice vrcholov: A[25; 0] B[0; 0] C[5,3; 7,27439260376]
Ťažisko: T[10,1; 2,42546420125]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[12,5; -3,54400414944]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,30663300171]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 159,73440980687° = 159°44'3″ = 0,35437067146 rad
∠ B' = β' = 126,07881999718° = 126°4'42″ = 0,94111129491 rad
∠ C' = γ' = 74,18877019595° = 74°11'16″ = 1,84767729899 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=21 c=25
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+21+25=55
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=255=27,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,5(27,5−9)(27,5−21)(27,5−25) S=8267,19=90,92
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 90,92=20,21 vb=b2 S=212⋅ 90,92=8,66 vc=c2 S=252⋅ 90,92=7,27
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 21⋅ 25212+252−92)=20°15′57" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2592+252−212)=53°55′18" γ=180°−α−β=180°−20°15′57"−53°55′18"=105°48′44"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27,590,92=3,31
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,306⋅ 27,59⋅ 21⋅ 25=12,99
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 212+2⋅ 252−92=22,644 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 252+2⋅ 92−212=15,58 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 212−252=10,235
Vypočítať ďaľší trojuholník