Trojuholník 9 23 28

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 23 c = 28

Obsah trojuholníka: S = 93,9154855055
Obvod trojuholníka: o = 60
Semiperimeter (poloobvod): s = 30

Uhol ∠ A = α = 16,95774262942° = 16°57'27″ = 0,29659629215 rad
Uhol ∠ B = β = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Uhol ∠ C = γ = 114,85328886016° = 114°51'10″ = 2,00545610615 rad

Výška trojuholníka: v_a = 20,876996779
Výška trojuholníka: v_b = 8,16765091352
Výška trojuholníka: v_c = 6,70882039325

Ťažnica: t_a = 25,22439965113
Ťažnica: t_b = 17,32877234512
Ťažnica: t_c = 10,44403065089

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,13304951685
Polomer opísanej kružnice: R = 15,42988690447

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[6; 6,70882039325]
Ťažisko: T[11,33333333333; 2,23660679775]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -6,48545971347]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,13304951685]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,04325737058° = 163°2'33″ = 0,29659629215 rad
∠ B' = β' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ C' = γ' = 65,14771113984° = 65°8'50″ = 2,00545610615 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 23 c = 28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 23 + 28 = 60

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 0}{2} = 30

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 30 (30 - 9) (30 - 23) (30 - 28) S = 8820 = 93, 91

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{9} = 20, 87 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{2 3} = 8, 17 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 3 , 9 1}{2 8} = 6, 71

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 3 ^{2} + 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 3 \cdot 2 8}) = 16 ° 5 7^{'} 27 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 8 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 8}) = 48 ° 1 1^{'} 23 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 5 7^{'} 27 " - 48 ° 1 1^{'} 23 " = 114 ° 5 1^{'} 10 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 3 , 9 1}{3 0} = 3, 13

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 3 \cdot 2 8}{4 \cdot 3 , 1 3 \cdot 3 0} = 15, 43

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 3 ^{2} + 2 \cdot 2 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 25, 224 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 3 ^{2}}{2} = 17, 328 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 3 ^{2} - 2 8 ^{2}}{2} = 10, 44

Vypočítať ďaľší trojuholník