Trojuholník 9 24 28
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 24 c = 28Obsah trojuholníka: S = 103,22876004758
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5
Uhol ∠ A = α = 17,89220755157° = 17°53'31″ = 0,31222756278 rad
Uhol ∠ B = β = 55,01114518867° = 55°41″ = 0,96601309617 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,09664725975° = 107°5'47″ = 1,86991860641 rad
Výška trojuholníka: va = 22,93994667724
Výška trojuholníka: vb = 8,60223000397
Výška trojuholníka: vc = 7,3733400034
Ťažnica: ta = 25,68655990781
Ťažnica: tb = 16,98552877515
Ťažnica: tc = 11,51108644332
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,3854511491
Polomer opísanej kružnice: R = 14,64772454366
Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[5,16107142857; 7,3733400034]
Ťažisko: T[11,05435714286; 2,45878000113]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -4,30660189131]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,3854511491]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,10879244843° = 162°6'29″ = 0,31222756278 rad
∠ B' = β' = 124,98985481133° = 124°59'19″ = 0,96601309617 rad
∠ C' = γ' = 72,90435274025° = 72°54'13″ = 1,86991860641 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=24 c=28
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+24+28=61
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=261=30,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=30,5(30,5−9)(30,5−24)(30,5−28) S=10655,94=103,23
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 103,23=22,94 vb=b2 S=242⋅ 103,23=8,6 vc=c2 S=282⋅ 103,23=7,37
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 24⋅ 28242+282−92)=17°53′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2892+282−242)=55°41" γ=180°−α−β=180°−17°53′31"−55°41"=107°5′47"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=30,5103,23=3,38
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,385⋅ 30,59⋅ 24⋅ 28=14,65
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 242+2⋅ 282−92=25,686 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 282+2⋅ 92−242=16,985 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 242−282=11,511
Vypočítať ďaľší trojuholník