Trojuholník 9 24 28




Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9   b = 24   c = 28

Obsah trojuholníka: S = 103,22876004758
Obvod trojuholníka: o = 61
Semiperimeter (poloobvod): s = 30,5

Uhol ∠ A = α = 17,89220755157° = 17°53'31″ = 0,31222756278 rad
Uhol ∠ B = β = 55,01114518867° = 55°41″ = 0,96601309617 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,09664725975° = 107°5'47″ = 1,86991860641 rad

Výška trojuholníka: va = 22,93994667724
Výška trojuholníka: vb = 8,60223000397
Výška trojuholníka: vc = 7,3733400034

Ťažnica: ta = 25,68655990781
Ťažnica: tb = 16,98552877515
Ťažnica: tc = 11,51108644332

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,3854511491
Polomer opísanej kružnice: R = 14,64772454366

Súradnice vrcholov: A[28; 0] B[0; 0] C[5,16107142857; 7,3733400034]
Ťažisko: T[11,05435714286; 2,45878000113]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14; -4,30660189131]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,3854511491]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,10879244843° = 162°6'29″ = 0,31222756278 rad
∠ B' = β' = 124,98985481133° = 124°59'19″ = 0,96601309617 rad
∠ C' = γ' = 72,90435274025° = 72°54'13″ = 1,86991860641 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?


Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=24 c=28

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o=a+b+c=9+24+28=61

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s=2o=261=30,5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S=s(sa)(sb)(sc) S=30,5(30,59)(30,524)(30,528) S=10655,94=103,23

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S=2ava  va=a2 S=92 103,23=22,94 vb=b2 S=242 103,23=8,6 vc=c2 S=282 103,23=7,37

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a2=b2+c22bccosα  α=arccos(2bcb2+c2a2)=arccos(2 24 28242+28292)=17°5331"  b2=a2+c22accosβ β=arccos(2aca2+c2b2)=arccos(2 9 2892+282242)=55°41" γ=180°αβ=180°17°5331"55°41"=107°547"

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S=rs r=sS=30,5103,23=3,38

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R=4 rsabc=4 3,385 30,59 24 28=14,65

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

ta=22b2+2c2a2=22 242+2 28292=25,686 tb=22c2+2a2b2=22 282+2 92242=16,985 tc=22a2+2b2c2=22 92+2 242282=11,511

Vypočítať ďaľší trojuholník