Trojuholník 9 24 29

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 24 c = 29

Obsah trojuholníka: S = 97,71438680024
Obvod trojuholníka: o = 62
Semiperimeter (poloobvod): s = 31

Uhol ∠ A = α = 16,3077179561° = 16°18'26″ = 0,28546139751 rad
Uhol ∠ B = β = 48,48435348519° = 48°29'1″ = 0,84661973162 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,20992855871° = 115°12'33″ = 2,01107813624 rad

Výška trojuholníka: v_a = 21,71441928894
Výška trojuholníka: v_b = 8,14328223335
Výška trojuholníka: v_c = 6,73988874484

Ťažnica: t_a = 26,23545192447
Ťažnica: t_b = 17,80444938148
Ťažnica: t_c = 10,87442815855

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,15220602581
Polomer opísanej kružnice: R = 16,02663842995

Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[5,96655172414; 6,73988874484]
Ťažisko: T[11,65551724138; 2,24662958161]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -6,8266052572]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,15220602581]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,6932820439° = 163°41'34″ = 0,28546139751 rad
∠ B' = β' = 131,51664651482° = 131°30'59″ = 0,84661973162 rad
∠ C' = γ' = 64,79107144129° = 64°47'27″ = 2,01107813624 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 24 c = 29

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 24 + 29 = 62

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 2}{2} = 31

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 31 (31 - 9) (31 - 24) (31 - 29) S = 9548 = 97, 71

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{9} = 21, 71 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{2 4} = 8, 14 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 9 7 , 7 1}{2 9} = 6, 74

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 4 ^{2} + 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 4 \cdot 2 9}) = 16 ° 1 8^{'} 26 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 2 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 2 9}) = 48 ° 2 9^{'} 1 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 8^{'} 26 " - 48 ° 2 9^{'} 1 " = 115 ° 1 2^{'} 33 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{9 7 , 7 1}{3 1} = 3, 15

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 4 \cdot 2 9}{4 \cdot 3 , 1 5 2 \cdot 3 1} = 16, 03

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 4 ^{2} + 2 \cdot 2 9 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 26, 235 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 9 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 4 ^{2}}{2} = 17, 804 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 4 ^{2} - 2 9 ^{2}}{2} = 10, 874

Vypočítať ďaľší trojuholník