Trojuholník 9 25 29
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 25 c = 29Obsah trojuholníka: S = 107,31881601594
Obvod trojuholníka: o = 63
Semiperimeter (poloobvod): s = 31,5
Uhol ∠ A = α = 17,22105164629° = 17°13'14″ = 0,30105547112 rad
Uhol ∠ B = β = 55,32218804133° = 55°19'19″ = 0,96655489616 rad
Uhol ∠ C = γ = 107,45876031237° = 107°27'27″ = 1,87554889808 rad
Výška trojuholníka: va = 23,84884800354
Výška trojuholníka: vb = 8,58554528128
Výška trojuholníka: vc = 7,40112524248
Ťažnica: ta = 26,69773781484
Ťažnica: tb = 17,45770902501
Ťažnica: tc = 11,94878031453
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,40769257193
Polomer opísanej kružnice: R = 15.22001301325
Súradnice vrcholov: A[29; 0] B[0; 0] C[5,12106896552; 7,40112524248]
Ťažisko: T[11,37435632184; 2,46770841416]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[14,5; -4,56600390397]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 3,40769257193]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,77994835371° = 162°46'46″ = 0,30105547112 rad
∠ B' = β' = 124,67881195867° = 124°40'41″ = 0,96655489616 rad
∠ C' = γ' = 72,54223968763° = 72°32'33″ = 1,87554889808 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=25 c=29
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+25+29=63
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=263=31,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=31,5(31,5−9)(31,5−25)(31,5−29) S=11517,19=107,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 107,32=23,85 vb=b2 S=252⋅ 107,32=8,59 vc=c2 S=292⋅ 107,32=7,4
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 25⋅ 29252+292−92)=17°13′14" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 2992+292−252)=55°19′19" γ=180°−α−β=180°−17°13′14"−55°19′19"=107°27′27"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=31,5107,32=3,41
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,407⋅ 31,59⋅ 25⋅ 29=15,2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 252+2⋅ 292−92=26,697 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 292+2⋅ 92−252=17,457 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 252−292=11,948
Vypočítať ďaľší trojuholník