Trojuholník 9 25 30

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9 b = 25 c = 30

Obsah trojuholníka: S = 101,50986203236
Obvod trojuholníka: o = 64
Semiperimeter (poloobvod): s = 32

Uhol ∠ A = α = 15,70553094058° = 15°42'19″ = 0,27441093592 rad
Uhol ∠ B = β = 48,75765958652° = 48°45'24″ = 0,85109631299 rad
Uhol ∠ C = γ = 115,5388094729° = 115°32'17″ = 2,01765201645 rad

Výška trojuholníka: v_a = 22,5577471183
Výška trojuholníka: v_b = 8,12106896259
Výška trojuholníka: v_c = 6,76772413549

Ťažnica: t_a = 27,24442654517
Ťažnica: t_b = 18,28325052988
Ťažnica: t_c = 11,3143708499

Polomer vpísanej kružnice: r = 3,17221443851
Polomer opísanej kružnice: R = 16,62442038816

Súradnice vrcholov: A[30; 0] B[0; 0] C[5,93333333333; 6,76772413549]
Ťažisko: T[11,97877777778; 2,25657471183]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[15; -7,16768790067]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 3,17221443851]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,29546905942° = 164°17'41″ = 0,27441093592 rad
∠ B' = β' = 131,24334041348° = 131°14'36″ = 0,85109631299 rad
∠ C' = γ' = 64,4621905271° = 64°27'43″ = 2,01765201645 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9 b = 25 c = 30

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9 + 25 + 30 = 64

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{6 4}{2} = 32

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 32 (32 - 9) (32 - 25) (32 - 30) S = 10304 = 101, 51

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{9} = 22, 56 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{2 5} = 8, 12 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 0 1 , 5 1}{3 0} = 6, 77

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{2 5 ^{2} + 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 2 5 \cdot 3 0}) = 15 ° 4 2^{'} 19 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 3 0 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 3 0}) = 48 ° 4 5^{'} 24 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 15 ° 4 2^{'} 19 " - 48 ° 4 5^{'} 24 " = 115 ° 3 2^{'} 17 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 0 1 , 5 1}{3 2} = 3, 17

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 \cdot 2 5 \cdot 3 0}{4 \cdot 3 , 1 7 2 \cdot 3 2} = 16, 62

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2 5 ^{2} + 2 \cdot 3 0 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 27, 244 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 0 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 2 5 ^{2}}{2} = 18, 283 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 2 5 ^{2} - 3 0 ^{2}}{2} = 11, 314

Vypočítať ďaľší trojuholník