Trojuholník 9 9 14
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 9 b = 9 c = 14Obsah trojuholníka: S = 39,59879797464
Obvod trojuholníka: o = 32
Semiperimeter (poloobvod): s = 16
Uhol ∠ A = α = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Uhol ∠ B = β = 38,9422441269° = 38°56'33″ = 0,68796738189 rad
Uhol ∠ C = γ = 102,1155117462° = 102°6'54″ = 1,78222450158 rad
Výška trojuholníka: va = 8.87995510548
Výška trojuholníka: vb = 8.87995510548
Výška trojuholníka: vc = 5,65768542495
Ťažnica: ta = 10,87442815855
Ťažnica: tb = 10,87442815855
Ťažnica: tc = 5,65768542495
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,47548737342
Polomer opísanej kružnice: R = 7,15994561595
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[7; 5,65768542495]
Ťažisko: T[7; 1,88656180832]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -1,503260191]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[7; 2,47548737342]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ B' = β' = 141,0587558731° = 141°3'27″ = 0,68796738189 rad
∠ C' = γ' = 77,8854882538° = 77°53'6″ = 1,78222450158 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9 b=9 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9+9+14=32
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=232=16
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=16(16−9)(16−9)(16−14) S=1568=39,6
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=92⋅ 39,6=8,8 vb=b2 S=92⋅ 39,6=8,8 vc=c2 S=142⋅ 39,6=5,66
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1492+142−92)=38°56′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1492+142−92)=38°56′33" γ=180°−α−β=180°−38°56′33"−38°56′33"=102°6′54"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1639,6=2,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,475⋅ 169⋅ 9⋅ 14=7,16
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 142−92=10,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 92−92=10,874 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 92+2⋅ 92−142=5,657
Vypočítať ďaľší trojuholník