Trojuholník 9.4 10.7 13.3

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 9,4 b = 10,7 c = 13,3

Obsah trojuholníka: S = 49,86994696182
Obvod trojuholníka: o = 33,4
Semiperimeter (poloobvod): s = 16,7

Uhol ∠ A = α = 44,49657901993° = 44°29'45″ = 0,77765980423 rad
Uhol ∠ B = β = 52,9198995454° = 52°55'8″ = 0,92436107075 rad
Uhol ∠ C = γ = 82,58552143467° = 82°35'7″ = 1,44113839038 rad

Výška trojuholníka: v_a = 10,61105254507
Výška trojuholníka: v_b = 9,32113961903
Výška trojuholníka: v_c = 7,49991683636

Ťažnica: t_a = 11,11875536877
Ťažnica: t_b = 10,1988161599
Ťažnica: t_c = 7,56332334355

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,98661957855
Polomer opísanej kružnice: R = 6,70660769357

Súradnice vrcholov: A[13,3; 0] B[0; 0] C[5,66876691729; 7,49991683636]
Ťažisko: T[6,3232556391; 2.54997227879]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,65; 0,86554292963]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 2,98661957855]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,50442098007° = 135°30'15″ = 0,77765980423 rad
∠ B' = β' = 127,0811004546° = 127°4'52″ = 0,92436107075 rad
∠ C' = γ' = 97,41547856533° = 97°24'53″ = 1,44113839038 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 9, 4 b = 10, 7 c = 13, 3

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 9, 4 + 10, 7 + 13, 3 = 33, 4

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{3 3 , 4}{2} = 16, 7

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 16, 7 (16, 7 - 9, 4) (16, 7 - 10, 7) (16, 7 - 13, 3) S = 2486, 96 = 49, 87

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{9 , 4} = 10, 61 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{1 0 , 7} = 9, 32 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 4 9 , 8 7}{1 3 , 3} = 7, 5

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 , 7 ^{2} + 1 3 , 3 ^{2} - 9 , 4 ^{2}}{2 \cdot 1 0 , 7 \cdot 1 3 , 3}) = 44 ° 2 9^{'} 45 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{9 , 4 ^{2} + 1 3 , 3 ^{2} - 1 0 , 7 ^{2}}{2 \cdot 9 , 4 \cdot 1 3 , 3}) = 52 ° 5 5^{'} 8 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 44 ° 2 9^{'} 45 " - 52 ° 5 5^{'} 8 " = 82 ° 3 5^{'} 7 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{4 9 , 8 7}{1 6 , 7} = 2, 99

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{9 , 4 \cdot 1 0 , 7 \cdot 1 3 , 3}{4 \cdot 2 , 9 8 6 \cdot 1 6 , 7} = 6, 71

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 0 , 7 ^{2} + 2 \cdot 1 3 , 3 ^{2} - 9 , 4 ^{2}}{2} = 11, 118 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 3 , 3 ^{2} + 2 \cdot 9 , 4 ^{2} - 1 0 , 7 ^{2}}{2} = 10, 198 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 , 4 ^{2} + 2 \cdot 1 0 , 7 ^{2} - 1 3 , 3 ^{2}}{2} = 7, 563

Vypočítať ďaľší trojuholník