Trojuholník - výsledok
Trojuholník má dve riešenia: a=5.76999996488; b=4; c=2 a a=2.74404386516; b=4; c=2.
#1 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 5.76999996488 b = 4 c = 2Obsah trojuholníka: S = 2,5
Obvod trojuholníka: o = 11.76999996488
Semiperimeter (poloobvod): s = 5,85499998244
Uhol ∠ A = α = 141,31878125465° = 141°19'4″ = 2,46664611207 rad
Uhol ∠ B = β = 26,01443677223° = 26°52″ = 0,45440363696 rad
Uhol ∠ C = γ = 12,66878197312° = 12°40'4″ = 0,22110951634 rad
Výška trojuholníka: va = 0,87771930365
Výška trojuholníka: vb = 1,25
Výška trojuholníka: vc = 2,5
Ťažnica: ta = 1,37702193258
Ťažnica: tb = 3,77442546282
Ťažnica: tc = 4,82113066692
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,42773504402
Polomer opísanej kružnice: R = 4,56599997191
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[5,12224989992; 2,5]
Ťažisko: T[2,37441663331; 0,83333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 4,44989995997]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,85499998244; 0,42773504402]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 38,68221874535° = 38°40'56″ = 2,46664611207 rad
∠ B' = β' = 153,98656322777° = 153°59'8″ = 0,45440363696 rad
∠ C' = γ' = 167,33221802688° = 167°19'56″ = 0,22110951634 rad
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Zadané vstupné údaje: strana b, c a obsah S.
b=4 c=2 S=2,5
2. Z obsahu S, strany b a strany c vypočítame stranu a - použitím Herónovho vzorca pre obsah a riešením bikvadratickej rovnice:
s=2a+b+c S2=s(s−a)(s−b)(s−c) s=2a+4+2=2a+6=a/2+3 S2=s(s−a)(s−b)(s−c) S2=(a/2+3)(a/2+3−a)(a/2+3−4)(a/2+3−2) 2,52=(a/2+3)(3−a/2)(a/2+(−1))(a/2+1) 100=(a+6)(6−a)(a+(−2))(a+2) D=b2⋅ c2−4⋅ S2=42⋅ 22−4⋅ 2,52=39 D1=−2⋅ D+b2+c2=−2⋅ 39+42+22=7,51 D2=2⋅ D+b2+c2=2⋅ 39+42+22=32,49 a1=D1=7,51=2,74 a2=D2=32,49=5,7
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=5,7 b=4 c=2
3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5,7+4+2=11,7
4. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=211,7=5,85
5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=5,85(5,85−5,7)(5,85−4)(5,85−2) S=6,25=2,5
6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=5,72⋅ 2,5=0,88 vb=b2 S=42⋅ 2,5=1,25 vc=c2 S=22⋅ 2,5=2,5
7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 242+22−5,72)=141°19′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5,7⋅ 25,72+22−42)=26°52" γ=180°−α−β=180°−141°19′4"−26°52"=12°40′4"
8. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=5,852,5=0,43
9. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,427⋅ 5,855,7⋅ 4⋅ 2=4,56
10. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 22−5,72=1,37 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 5,72−42=3,774 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 5,72+2⋅ 42−22=4,821
#2 Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2,74404386516 b = 4 c = 2Obsah trojuholníka: S = 2,5
Obvod trojuholníka: o = 8,74404386516
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,37702193258
Uhol ∠ A = α = 38,68221874535° = 38°40'56″ = 0,67551315329 rad
Uhol ∠ B = β = 114,18800611854° = 114°10'48″ = 1,99328180078 rad
Uhol ∠ C = γ = 27,13877513611° = 27°8'16″ = 0,47436431128 rad
Výška trojuholníka: va = 1,82545254266
Výška trojuholníka: vb = 1,25
Výška trojuholníka: vc = 2,5
Ťažnica: ta = 2,85499998244
Ťažnica: tb = 1,32547648854
Ťažnica: tc = 3,27994819715
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,57220536691
Polomer opísanej kružnice: R = 2,19223509213
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[-1,12224989992; 2,5]
Ťažisko: T[0,29325003336; 0,83333333333]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 1,95110004003]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,37702193258; 0,57220536691]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,31878125465° = 141°19'4″ = 0,67551315329 rad
∠ B' = β' = 65,82199388146° = 65°49'12″ = 1,99328180078 rad
∠ C' = γ' = 152,86222486389° = 152°51'44″ = 0,47436431128 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Výpočet trojuholníka prebieha v dvoch fázach. Prvá fáza je taká, že zo vstupných parametrov sa snažíme vypočítať všetky tri strany trojuholníka. Prvá fáza prebieha rôzne pre rôzne zadané trojuholníky. Druhá fáza je vlastne výpočet ostatných charakteristík trojuholníka (z už vypočítaných strán, preto SSS), ako sú uhly, plocha, obvod, výšky, ťažnice, polomery kružníc atď. Niektoré vstupné vstupné údaje vedú aj v dvom až trom správnym riešeniam trojuholníka (napr. ak je zadaný obsah trojuholníka a dve strany - výsledkom je typicky ostrouhlý a aj tupouhlý trojuholník).1. Zadané vstupné údaje: strana b, c a obsah S.
b=4 c=2 S=2,5
2. Z obsahu S, strany b a strany c vypočítame stranu a - použitím Herónovho vzorca pre obsah a riešením bikvadratickej rovnice:
s=2a+b+c S2=s(s−a)(s−b)(s−c) s=2a+4+2=2a+6=a/2+3 S2=s(s−a)(s−b)(s−c) S2=(a/2+3)(a/2+3−a)(a/2+3−4)(a/2+3−2) 2,52=(a/2+3)(3−a/2)(a/2+(−1))(a/2+1) 100=(a+6)(6−a)(a+(−2))(a+2) D=b2⋅ c2−4⋅ S2=42⋅ 22−4⋅ 2,52=39 D1=−2⋅ D+b2+c2=−2⋅ 39+42+22=7,51 D2=2⋅ D+b2+c2=2⋅ 39+42+22=32,49 a1=D1=7,51=2,74 a2=D2=32,49=5,7
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený. Ďalej preto výpočet je rovnaký a dopočítajú sa ďaľšie jeho vlastnosti - vlastne výpočet trojuholníka zo známych troch strán SSS.
a=2,74 b=4 c=2
3. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2,74+4+2=8,74
4. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=28,74=4,37
5. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,37(4,37−2,74)(4,37−4)(4,37−2) S=6,25=2,5
6. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=2,742⋅ 2,5=1,82 vb=b2 S=42⋅ 2,5=1,25 vc=c2 S=22⋅ 2,5=2,5
7. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 242+22−2,742)=38°40′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2,74⋅ 22,742+22−42)=114°10′48" γ=180°−α−β=180°−38°40′56"−114°10′48"=27°8′16"
8. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=4,372,5=0,57
9. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,572⋅ 4,372,74⋅ 4⋅ 2=2,19
10. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 22−2,742=2,85 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 2,742−42=1,325 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 2,742+2⋅ 42−22=3,279
Vypočítať ďaľší trojuholník