Päťuholník

Vo vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP?
Urob si náčrtok.

Výsledok

x =  66 °

Riešenie:

Textové riešenie x =







Napíšte nám komentár ku príkladu a riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné...):

Zobrazujem 1 komentár:
#1
Mo - Ofic
Nápoveda. Uvedomte si, že trojuholník BCP nie je obyčajný.

Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).

Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.

Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.

Veľkosť uhla BCP je 66◦.

Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).

Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.

avatar









Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady:

  1. Rovnoramenný lichobežník
    mo-klm Je daný rovnoramenný lichobežník ABCD, v ktorom platí: |AB| = 2 |BC| = 2 |CD| = 2 |DA|: Na jeho strane BC je bod K taký, že |BK| = 2 |KC|, na jeho strane CD je bod L taký, že |CL| = 2 |LD|, a na jeho strane DA je bod M taký, že |DM| = 2 |MA|. Určte veľkos
  2. Vnútorné uhly
    inner_outer_angles_triangle Vypočítaj zvyšné vnútorné a vonkajšie uhly trojuholníka, ak poznáš vnútorný uhol γ(gama)=34 stupňov a vonkajší uhol 78 stupňov a 40´. Napíš o aký trojuholník ide podľa veľkosti vnútorných uhlov.
  3. Uhly v trojuholníku
    trigonometry V trojuholníku je pomer uhlov β:γ=6:8. Veľkosť uhla α je o 40° väčšia ako uhol β. Aké sú veľké vnútorné uhly trojuholníka?
  4. Katka MO
    reporter_saved6 Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB si označila ako X a stred strany AC ako Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY?
  5. Domček Z9–I–5
    Mysky Myšky si postavili podzemný domček pozostávajúci z komôrok a tunelkov: • každý tunel vedie z komôrky do komôrky (tzn. žiadny nie je slepý), • z každej komôrky vedú práve tri tunely do troch rôznych komôrok, • z každej komôrky sa dá tunelom dostať do ktore
  6. Stredná priečka
    trianles Je pravda že stredná priečka rozpoľuje trojuholník?
  7. Ciferník hodín
    center_angle Zadaný je ciferník hodín. Čísla 10 a 5 a 3 a 8 sú spojené priamkami. Vypočítaj veľkosť ich uhlov.
  8. Podobné trojuholníky
    podobnost_2 Trojuholníky ABC a A'B'C'. Sú podobné. V trojuholníku ABC sú veľkosti dvoch uhlov 25 stupňov 65 stupňov. Zdôvodni prečo v trojuholníku A'B'C' je súčet veľkosti dvoch uhlov rovný 90 stupňov
  9. Zostrojte
    troj Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte dĺžky jeho strán c = 5 cm, a = 4 cm a uhol ABC má ve¾kosť 60°. Odmerajte dĺžku strany b v milimetroch. Dĺžka strany b je: a, 75 mm < b < 81 mm b, 53 mm < b < 59 mm c, 43 mm < b < 49 mm d, 13 mm < b < 19 mm
  10. Pre trojuhoľníky
    podobnost_1 Pre trojuhoľníky ABC a A'B'C' platí: alfa = alfa s čiarou, beta s čiarou = beta. a) sú tieto trojuhoľníky zhodné? Prečo? b) sú tieto trojuhoľníky podobné? Prečo?
  11. Koeficient podobnosti 2
    trig12 Trojuholníky ABC a A"B"C" sú podobné koeficientom podobnosti 2 . Veľkosti uhlov trojuholníka ABC sú α= 35° a β= 48°. urči veľkosti všetkých uhlov trojuholníka A"B"C".
  12. Uhly trojuholníka
    triangles_9 V trojuholníku ABC je uhol beta o 15° väčší ako uhol alfa. Zostávajúci uhol je o 30° väčší ako súčet uhlov alfa a beta. Vypočítajte uhly trojuholníka.
  13. Veky
    age_7 Keď bude Bedrichovi toľko rokov čo je Adamovi dnes, bude mať Adam 14 rokov. Keď bude Adamovi toľko rokov koľko má Bedrich dnes, bolo Bedrichovi dva roky. Koľko rokov je dnes Adamovi a Bedrichovi?
  14. Rovnica 4
    math_1 Riešte rovnicu: ?
  15. Stromčeky
    jablone Pozdĺž cesty bolo vysadených 250 stromčekov dvojakého druhu. Čerešní po 60 Sk za kus a jabloní po 50 Sk za kus. Celá výsadba stála 12800 Sk. Koľko bolo sadeníc čerešní a koľko jabloní?
  16. Huby/hríby
    huby_2 Eva a Jana nazbierali dohromady 114 húb. Eva našla dvakrát viac ako Jana. Koľko našla každá z nich?
  17. Číselná os
    osa V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2.