Päťuholník

Vo vnútri pravidelného päťuholníka ABCDE je bod P taký, že trojuholník ABP je rovnostranný. Aký veľký je uhol BCP?
Urob si náčrtok.

Výsledok

x =  66 °

Riešenie:

Textové riešenie x =







Napíšte nám komentár ku príkladu a riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné...):

Zobrazujem 1 komentár:
#1
Mo - Ofic
Nápoveda. Uvedomte si, že trojuholník BCP nie je obyčajný.

Možné riešenie. Päťuholník ABCDE je pravidelný, najmä platí | AB | = | BC |. Trojuholník ABP je rovnostranný, najmä platí | AB | = | BP |. Odtiaľ vidíme, že | BP | = | BC |, teda, že trojuholník BCP je rovnoramenný. Jeho vnútorné uhly pri vrcholoch P a C sú preto zhodné; na ich určenie stačí poznať uhol pri vrchole B (súčet veľkostí vnútorných uhlov v ľubovoľnom trojuholníku je 180◦). Pritom uhol P BC je rozdielom uhlov ABC a ABP, z ktorých prvá je vnútorným uhlom pravidelného päťuholníka (vyjadríme vzápätí) a druhý je vnútorným uhlom rovnostranného trojuholníka (má veľkosť α = 60◦).

Päťuholník ABCDE môžeme rozdeliť na päť trojuholníkov so spoločným vrcholom P. Súčet vnútorných uhlov päťuholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov všetkých piatich trojuholníkov výnimkou uhlov pri vrchole P, tj. 5 · 180◦-360◦ = 540◦. V pravidelnom päťuholníka sú všetky vnútorné uhly zhodné, každý má teda veľkosť 540◦: 5 = 108◦.

Odtiaľ konečne vieme vyjadriť β = |uhol PBC | = |uhol ABC | - |uhol ABP | = 108◦ - 60◦ = 48◦ a následne γ = |uhol BCP | = |uhol BPC | = (180◦ - 48◦) / 2 = 66◦.

Veľkosť uhla BCP je 66◦.

Poznámka. Veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka je možné odvodiť aj pomocou rozdelenia na päť zhodných rovnoramenných trojuholníkov ako na nasledujúcom obrázku (S je stred päťuholníka, tj. Stred jemu opísanej kružnice).

Uhol pri vrchole S v každom z týchto trojuholníkov má veľkosť 360: 5 = 72◦; súčet uhlov pri základni je rovný 180◦-72◦ = 108◦, čo je tiež veľkosť vnútorného uhla pravidelného päťuholníka.

avatar









Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Ďaľšie podobné príklady:

  1. V rovnoramennom 3
    triangle_9 V rovnoramennom trojuholníku je uhol pri vrchole o 30° väčší ako uhol pri základni. Aké veľké sú vnútorné uhly?
  2. Uhly
    triangle V trojuholníku má jeden vonkajší uhol veľkosť 56°30' a jeden vnútorný uhol 46°24'. Vypočítajte ostatné vnútorné uhly trojuholníka.
  3. Katka MO
    reporter_saved6 Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB si označila ako X a stred strany AC ako Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY?
  4. Domček Z9–I–5
    Mysky Myšky si postavili podzemný domček pozostávajúci z komôrok a tunelkov: • každý tunel vedie z komôrky do komôrky (tzn. žiadny nie je slepý), • z každej komôrky vedú práve tri tunely do troch rôznych komôrok, • z každej komôrky sa dá tunelom dostať do ktore
  5. Stredná priečka
    trianles Je pravda že stredná priečka rozpoľuje trojuholník?
  6. Zostrojte
    troj Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte dĺžky jeho strán c = 5 cm, a = 4 cm a uhol ABC má ve¾kosť 60°. Odmerajte dĺžku strany b v milimetroch. Dĺžka strany b je: a, 75 mm < b < 81 mm b, 53 mm < b < 59 mm c, 43 mm < b < 49 mm d, 13 mm < b < 19 mm
  7. Ciferník hodín
    center_angle Zadaný je ciferník hodín. Čísla 10 a 5 a 3 a 8 sú spojené priamkami. Vypočítaj veľkosť ich uhlov.
  8. Pre trojuhoľníky
    podobnost_1 Pre trojuhoľníky ABC a A'B'C' platí: alfa = alfa s čiarou, beta s čiarou = beta. a) sú tieto trojuhoľníky zhodné? Prečo? b) sú tieto trojuhoľníky podobné? Prečo?
  9. Podobné trojuholníky
    podobnost_2 Trojuholníky ABC a A'B'C'. Sú podobné. V trojuholníku ABC sú veľkosti dvoch uhlov 25 stupňov 65 stupňov. Zdôvodni prečo v trojuholníku A'B'C' je súčet veľkosti dvoch uhlov rovný 90 stupňov
  10. Koeficient podobnosti 2
    trig12 Trojuholníky ABC a A"B"C" sú podobné koeficientom podobnosti 2 . Veľkosti uhlov trojuholníka ABC sú α= 35° a β= 48°. urči veľkosti všetkých uhlov trojuholníka A"B"C".
  11. Veky
    age_7 Keď bude Bedrichovi toľko rokov čo je Adamovi dnes, bude mať Adam 14 rokov. Keď bude Adamovi toľko rokov koľko má Bedrich dnes, bolo Bedrichovi dva roky. Koľko rokov je dnes Adamovi a Bedrichovi?
  12. Súčet dvoch čísel
    numbers2_1 Súčet dvoch čísel je 13. Tretina prvého čísla je tri. Aké sú to čísla ?
  13. Separovaný odpad
    separ_recycle 14% separovaného odpadu na slovensku v roku 2007 tvorily plasty. skla sa podarilo vyseparovať dvakrát viac. Koľko % separovaného odpadu tvorilo sklo? Koľko % separovaného odpadu tvoril ostatný odpad?
  14. Číselná os
    osa V kocúrskovskej škole používajú zvláštne číselnú os. Vzdialenosť medzi číslami 1 a 2 je 1 cm, vzdialenosť medzi číslami 2 a 3 je 3 cm, medzi číslami 3 a 4 je 5 cm, a tak ďalej, vzdialenosť medzi nasledujúce dvojicou prirodzenými číslami sa vždy zväčší o 2.
  15. Mlieko v konve
    milk_cylinder V nádobe tvare valca je 80 litrov mlieka. Mlieko siaha do výšky 45 cm. Koľko mlieka bude v nádobe, ak bude siahať do výšky 72 cm?
  16. Lopta
    ball1_4 Lopta bol zlacnená o 10 percent a a potom znovu o 30 percent. Koľko percent pôvodnej ceny stojí teraz?
  17. Stromčeky
    jablone Pozdĺž cesty bolo vysadených 250 stromčekov dvojakého druhu. Čerešní po 60 Sk za kus a jabloní po 50 Sk za kus. Celá výsadba stála 12800 Sk. Koľko bolo sadeníc čerešní a koľko jabloní?