Odpoví-li 8451

Test má 10 otázek s výběrem odpovědí. Na výběr správné odpovědi jsou čtyři možnosti A, B, C, D, přičemž správná je vždy jedna z nich. Kolik je všech různých možností pro odpovědi v tomto testu,
a) odpoví-li jeho řešitel na každou otázku
b) odpoví-li na každou otázku a spávně odpoví právě na 2 otázky.
c) odpoví na každou otázku a správně odpoví na nejvýše 2 otázky
d) odpoví na každou otázku a správně odpoví na alespoň 9 otázek.

Správná odpověď:

a =  1048576
b =  295245
c =  885735
d =  31

Postup správného řešení:

$a=4^{10}=1048576$

$$\begin{gathered} C_2(10)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10\cdot 9}{2\cdot 1}=45 \\ b=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)\cdot (4-1{)}^{10-2}\cdot 1^2=45\cdot (4-1{)}^{10-2}\cdot 1^2=295245 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} C_1(10)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)=\frac{10!}{1!(10-1)!}=\frac{10}{1}=10 \\ c=b+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)\cdot (4-1{)}^{10-1}\cdot 1^1\cdot 3^1=295245+10\cdot (4-1{)}^{10-1}\cdot 1^1\cdot 3^1=885735 \end{gathered}$$

$d=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)\cdot 1^9\cdot 3^1+1\cdot 1^{10}=10\cdot 1^9\cdot 3^1+1\cdot 1^{10}=31$

Zkusit jiný příklad