Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Tupouhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 15
b = 15
c = 28,28
Obsah trojúhelníku: S = 70,78553540772
Obvod trojúhelníku: o = 58,28
Semiperimeter (poloobvod): s = 29,14
Úhel ∠ A = α = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Úhel ∠ B = β = 19,49656783159° = 19°29'44″ = 0,34402637765 rad
Úhel ∠ C = γ = 141,00986433683° = 141°31″ = 2,46110651005 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 9,43880472103
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 9,43880472103
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 5,00660363562
Těžnice: ta = 21,3577181462
Těžnice: tb = 21,3577181462
Těžnice: tc = 5,00660363562
Poloměr vepsané kružnice: r = 2,42991473602
Poloměr opsané kružnice: R = 22,47328691512
Souřadnice vrcholů: A[28,28; 0] B[0; 0] C[14,14; 5,00660363562]
Těžiště: T[14,14; 1,66986787854]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[14,14; -17,4676832795]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[14,14; 2,42991473602]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ B' = β' = 160,50443216841° = 160°30'16″ = 0,34402637765 rad
∠ C' = γ' = 38,99113566317° = 38°59'29″ = 2,46110651005 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=15 b=15 c=28,28
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=15+15+28,28=58,28
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=258,28=29,14
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=29,14(29,14−15)(29,14−15)(29,14−28,28) S=5010,57=70,79
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=152⋅ 70,79=9,44 vb=b2 S=152⋅ 70,79=9,44 vc=c2 S=28,282⋅ 70,79=5,01
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 15⋅ 28,28152+28,282−152)=19°29′44" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 15⋅ 28,28152+28,282−152)=19°29′44" γ=180°−α−β=180°−19°29′44"−19°29′44"=141°31"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=29,1470,79=2,43
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 2,429⋅ 29,1415⋅ 15⋅ 28,28=22,47
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 152+2⋅ 28,282−152=21,357 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 28,282+2⋅ 152−152=21,357 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 152+2⋅ 152−28,282=5,006
Vypočítat další trojúhelník