Výpočet trojúhelníku SSS - výsledek
Ostroúhlý různostranný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 3
b = 1,73
c = 3,46
Obsah trojúhelníku: S = 2,59549945365
Obvod trojúhelníku: o = 8,19
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,095
Úhel ∠ A = α = 60,11876419929° = 60°7'4″ = 1,04992507913 rad
Úhel ∠ B = β = 309,9999303539° = 30° = 0,524359756 rad
Úhel ∠ C = γ = 89,88224276532° = 89°52'57″ = 1,56987443022 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 1,73299963577
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 32,9999936838
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1.54999968419
Těžnice: ta = 2,28774112005
Těžnice: tb = 3,12105087726
Těžnice: tc = 1,73330753013
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,63436982995
Poloměr opsané kružnice: R = 1,73300036424
Souřadnice vrcholů: A[3,46; 0] B[0; 0] C[2,59880780347; 1.54999968419]
Těžiště: T[2,01993593449; 0.54999989473]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[1,73; 0,00435500075]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[2,365; 0,63436982995]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 119,88223580071° = 119°52'56″ = 1,04992507913 rad
∠ B' = β' = 1500,0000696461° = 150° = 0,524359756 rad
∠ C' = γ' = 90,11875723468° = 90°7'3″ = 1,56987443022 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=3 b=1,73 c=3,46
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=3+1,73+3,46=8,19
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=28,19=4,1
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,1(4,1−3)(4,1−1,73)(4,1−3,46) S=6,73=2,59
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 2,59=1,73 vb=b2 S=1,732⋅ 2,59=3 vc=c2 S=3,462⋅ 2,59=1,5
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 1,73⋅ 3,461,732+3,462−32)=60°7′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 3,4632+3,462−1,732)=30° γ=180°−α−β=180°−60°7′4"−30°=89°52′57"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=4,12,59=0,63
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,634⋅ 4,0953⋅ 1,73⋅ 3,46=1,73
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 1,732+2⋅ 3,462−32=2,287 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 3,462+2⋅ 32−1,732=3,121 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 1,732−3,462=1,733
Vypočítat další trojúhelník