Trojúhelník 2 9 9
Ostroúhlý rovnoramenný trojúhelník.
Délky stran trojúhelníku:a = 2
b = 9
c = 9
Obsah trojúhelníku: S = 8,944427191
Obvod trojúhelníku: o = 20
Semiperimeter (poloobvod): s = 10
Úhel ∠ A = α = 12,75987404169° = 12°45'31″ = 0,22326820287 rad
Úhel ∠ B = β = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Úhel ∠ C = γ = 83,62106297916° = 83°37'14″ = 1,45994553125 rad
Výška trojúhelníku na stranu a: va = 8,944427191
Výška trojúhelníku na stranu b: vb = 1,988761598
Výška trojúhelníku na stranu c: vc = 1,988761598
Těžnice: ta = 8,944427191
Těžnice: tb = 4,7176990566
Těžnice: tc = 4,7176990566
Poloměr vepsané kružnice: r = 0,8944427191
Poloměr opsané kružnice: R = 4,52880376544
Souřadnice vrcholů: A[9; 0] B[0; 0] C[0,22222222222; 1,988761598]
Těžiště: T[3,07440740741; 0,663253866]
Souřadnice středu kružnice opsané: U[4,5; 0,50331152949]
Souřadnice středu vepsané kružnice: I[1; 0,8944427191]
Vnější úhly trojúhelníku:
∠ A' = α' = 167,24112595831° = 167°14'29″ = 0,22326820287 rad
∠ B' = β' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
∠ C' = γ' = 96,37993702084° = 96°22'46″ = 1,45994553125 rad
Vypočítat další trojúhelník
Jak jsme vypočítali tento trojúhelník?
Nyní, když víme délky všech tří stran trojúhelníku, trojúhelník je jednoznačně určen.
a=2 b=9 c=9
1. Obvod trojúhelníku je součtem délek jeho tří stran
o=a+b+c=2+9+9=20
2. Poloviční obvod trojúhelníku
Poloviční obvod trojúhelníku (semiperimeter) je polovina z jeho obvodu. Poloviční obvod trojúhelníku se ve vzorcích pro trojúhelníky často vyskytuje tak, že mu byl přidělen samostatný název (semiperimeter - poloobvod - s). Trojúhelníková nerovnost říká, že nejdelší délka strany trojúhelníku musí být menší než semiperimeter.s=2o=220=10
3. Obsah trojúhelníku pomocí Heronova vzorce
Heronův vzorec dává obsah trojúhelníku, kdy jsou známé délky všech tří stran. Není třeba nejprve vypočítat úhly nebo jiné vzdálenosti v trojúhelníku. Heronův vzorec funguje stejně dobře ve všech případech a druzích trojúhelníků.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10(10−2)(10−9)(10−9) S=80=8,94
4. Výpočet výšek trojúhelníku z jeho obsahu.
Existuje mnoho způsobů, jak zjistit výšku trojúhelníku. Nejjednodušší způsob je ze vzorce, když známe obsah a délku základny. Plocha trojúhelníku je polovinou součinu délky základny a výšky. Každá strana trojúhelníku může být základnou; existují tedy tři základny a tři výšky. Výška trojúhelníku je kolmá úsečka od vrcholu po přímku obsahující základnu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 8,94=8,94 vb=b2 S=92⋅ 8,94=1,99 vc=c2 S=92⋅ 8,94=1,99
5. Výpočet vnitřních úhlů trojúhelníku pomocí kosinové věty
Kosinová věta je užitečná při hledání úhlů trojúhelníku, když známe všechny tři strany. Kosinová věta spojuje všechny tři strany trojúhelníku s úhlem trojúhelníku. Kosinová věta je extrapolací Pythagorovy věty pro jakýkoliv trojúhelník. Pythagorova věta funguje pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Pythagorova věta je zvláštním případem kosinové věty a dá se z něj odvodit, protože kosinus 90 ° je 0. Nejlepší je nejprve najít úhel oproti nejdelší straně. V případě kosinové věty neexistuje problém s tupými úhly jako v případě sinusové věty, protože funkce kosinus je záporná pro tupé úhly, nulová pro pravé a kladná pro ostré úhly. K určení úhlu z hodnoty kosinus používáme inverzní kosinus nazývaný arkuskosinus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−22)=12°45′31" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 922+92−92)=83°37′14" γ=180°−α−β=180°−12°45′31"−83°37′14"=83°37′14"
6. Poloměr vepsané kružnice
Vepsaná kružnice v trojúhelníku je kružnice (kruh), který se dotýká každé jeho strany. Všechny trojúhelníky mají vepsanou kružnici a její střed vždy leží uvnitř trojúhelníku. Střed vepsané kružnice je průsečík tří os vnitřních úhlů (průsečík bisektorov). Součin poloměru vepsané kružnice a semiperimetru (poloviny obvodu) trojúhelníku je jeho plocha.S=rs r=sS=108,94=0,89
7. Poloměr opsané kružnice
Opsaná kružnice trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed opsané kružnice je bod, ve kterém se protínají osy stran trojúhelníku.R=4 rsabc=4⋅ 0,894⋅ 102⋅ 9⋅ 9=4,53
8. Výpočet těžnic
Těžnice (medián) trojúhelníku je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a všechny se vzájemně protínají v těžišti trojúhelníku. Těžiště rozděluje těžnice na části v poměru 2: 1, přičemž těžiště je dvakrát blíže ke středu strany jako protilehlý vrchol. Apolloniusovu větu používáme pro výpočet délky těžnic z délek jeho stran.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−22=8,944 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 22−92=4,717 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 92−92=4,717
Vypočítat další trojúhelník