Objem 36

Objem kvádra je 1440 cm³, jeho povrch je 792 cm² a obsah jednej jeho steny je 92 cm². Vypočítajte dĺžky jeho strán.

Správna odpoveď:

a =  15,6522 cm
b =  11,2296 cm
c =  8,1927 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} V=1440{\text{cm}}^3 \\ S=792{\text{cm}}^3 \\ {S}_1=92{\text{cm}}^2 \\ {S}_1=bc \\ V=abc \\ a=V/S_1=1440/92=15,6522\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S=2(ab+bc+ca)=2(ab+S_1+ca) \\ S/2-S_1=ab+ca \\ b+c=(S/2-S_1)/a \\ V/a=bc=b((S/2-S_1)/a-b) \\ V/a=b((S/2-S_1)/a-b) \\ 1440/15,652173913043=b((792/2-92)/15,652173913043-b) \\ {b}^2-19,422b+92=0 \\ p=1;q=-19,422;r=92 \\ D=q^2-4pr=19,422^2-4\cdot 1\cdot 92=9,2227160494 \\ D>0 \\ {b}_{1,2}=\frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}=\frac{19,42\pm \sqrt{9,22}}{2} \\ {b}_{1,2}=9,711111\pm 1,518446 \\ {b}_1=11,229557361 \\ {b}_2=8,192664862 \\ b=b_1=11,2296=11,2296\text{cm} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$$\begin{gathered} c=(S/2-S_1)/a-b=(792/2-92)/15,6522-11,2296\doteq 8,1927\text{cm} \\ {V}_1=a\cdot b\cdot c=15,6522\cdot 11,2296\cdot 8,1927=1440{\text{cm}}^3 \\ {V}_1=V \\ {S}_2=2\cdot (a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)=2\cdot (15,6522\cdot 11,2296+11,2296\cdot 8,1927+8,1927\cdot 15,6522)=792{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=S \\ c=8,1927\doteq 8,1927 \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {S}_2=2\cdot (a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)=2\cdot (15,6522\cdot 11,2296+11,2296\cdot 8,1927+8,1927\cdot 15,6522)=792{\text{cm}}^2 \\ {V}_2=a\cdot b\cdot c=15,6522\cdot 11,2296\cdot 8,1927=1440{\text{cm}}^3 \\ {S}_3=b\cdot c=11,2296\cdot 8,1927=92{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad