Výpočet trojuholníka SSS - výsledok

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 10
b = 10
c = 4,5

Obsah trojuholníka: S = 21,92330721786
Obvod trojuholníka: o = 24,5
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,25

Uhol ∠ A = α = 76,99771218371° = 76°59'50″ = 1,34438532906 rad
Uhol ∠ B = β = 76,99771218371° = 76°59'50″ = 1,34438532906 rad
Uhol ∠ C = γ = 26,00657563258° = 26°21″ = 0,45438860724 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,38546144357
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 4,38546144357
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 9,7443587635

Ťažnica: t_a = 5,92766347956
Ťažnica: t_b = 5,92766347956
Ťažnica: t_c = 9,7443587635

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,79896385452
Polomer opísanej kružnice: R = 5,13215800579

Súradnice vrcholov: A[4,5; 0] B[0; 0] C[2,25; 9,7443587635]
Ťažisko: T[2,25; 3,2487862545]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2,25; 4,6122007577]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,25; 1,79896385452]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 103,00328781629° = 103°10″ = 1,34438532906 rad
∠ B' = β' = 103,00328781629° = 103°10″ = 1,34438532906 rad
∠ C' = γ' = 153,99442436742° = 153°59'39″ = 0,45438860724 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 10 b = 10 c = 4, 5

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 10 + 10 + 4, 5 = 24, 5

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4 , 5}{2} = 12, 25

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 , 9 2}{1 0} = 4, 38 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 , 9 2}{1 0} = 4, 38 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 , 9 2}{4 , 5} = 9, 74

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 4 , 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 4 , 5}) = 76 ° 5 9^{'} 50 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{1 0 ^{2} + 4 , 5 ^{2} - 1 0 ^{2}}{2 \cdot 1 0 \cdot 4 , 5}) = 76 ° 5 9^{'} 50 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 76 ° 5 9^{'} 50 " - 76 ° 5 9^{'} 50 " = 26 ° 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 , 9 2}{1 2 , 2 5} = 1, 79

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{1 0 \cdot 1 0 \cdot 4 , 5}{4 \cdot 1 , 7 9 \cdot 1 2 , 2 5} = 5, 13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

Vypočítať ďaľší trojuholník