Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Pravouhlý rôznostranný Pytagorejský trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 165
b = 220
c = 275
Obsah trojuholníka: S = 18150
Obvod trojuholníka: o = 660
Semiperimeter (poloobvod): s = 330
Uhol ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 53,13301023542° = 53°7'48″ = 0,9277295218 rad
Uhol ∠ C = γ = 90° = 1,57107963268 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 220
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 165
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 132
Ťažnica: ta = 234,96601029962
Ťažnica: tb = 198,30553201505
Ťažnica: tc = 137,5
Polomer vpísanej kružnice: r = 55
Polomer opísanej kružnice: R = 137,5
Súradnice vrcholov: A[275; 0] B[0; 0] C[99; 132]
Ťažisko: T[124,66766666667; 44]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[137,5; -0]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[110; 55]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 126,87698976458° = 126°52'12″ = 0,9277295218 rad
∠ C' = γ' = 90° = 1,57107963268 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=165 b=220 c=275
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=165+220+275=660
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=2660=330
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=330(330−165)(330−220)(330−275) S=329422500=18150
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=1652⋅ 18150=220 vb=b2 S=2202⋅ 18150=165 vc=c2 S=2752⋅ 18150=132
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 220⋅ 2752202+2752−1652)=36°52′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 165⋅ 2751652+2752−2202)=53°7′48" γ=180°−α−β=180°−36°52′12"−53°7′48"=90°
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=33018150=55
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 55⋅ 330165⋅ 220⋅ 275=137,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 2202+2⋅ 2752−1652=234,96 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 2752+2⋅ 1652−2202=198,305 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 1652+2⋅ 2202−2752=137,5
Vypočítať ďaľší trojuholník