Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 2,74
b = 4
c = 2
Obsah trojuholníka: S = 2,49992491652
Obvod trojuholníka: o = 8,74
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,37
Uhol ∠ A = α = 38,66884114611° = 38°40'6″ = 0,67548910965 rad
Uhol ∠ B = β = 114,19879570568° = 114°11'53″ = 1,99331303497 rad
Uhol ∠ C = γ = 27,13436314821° = 27°8'1″ = 0,47435712074 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 1,82442694637
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 1,25496245826
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 2,49992491652
Ťažnica: ta = 2,85501052612
Ťažnica: tb = 1,32443111417
Ťažnica: tc = 3,27992987055
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,57219105641
Polomer opísanej kružnice: R = 2,19326585297
Súradnice vrcholov: A[2; 0] B[0; 0] C[-1,12331; 2,49992491652]
Ťažisko: T[0,29223; 0,83330830551]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[1; 1,95113460554]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,37; 0,57219105641]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,33215885389° = 141°19'54″ = 0,67548910965 rad
∠ B' = β' = 65,80220429432° = 65°48'7″ = 1,99331303497 rad
∠ C' = γ' = 152,86663685179° = 152°51'59″ = 0,47435712074 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2,74 b=4 c=2
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2,74+4+2=8,74
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=28,74=4,37
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,37(4,37−2,74)(4,37−4)(4,37−2) S=6,25=2,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=2,742⋅ 2,5=1,82 vb=b2 S=42⋅ 2,5=1,25 vc=c2 S=22⋅ 2,5=2,5
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 242+22−2,742)=38°40′6" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2,74⋅ 22,742+22−42)=114°11′53" γ=180°−α−β=180°−38°40′6"−114°11′53"=27°8′1"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=4,372,5=0,57
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,572⋅ 4,372,74⋅ 4⋅ 2=2,19
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 22−2,742=2,85 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22+2⋅ 2,742−42=1,324 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 2,742+2⋅ 42−22=3,279
Vypočítať ďaľší trojuholník