Výpočet trojuholníka SSS - výsledok
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 9,63
b = 22
c = 22,43
Obsah trojuholníka: S = 104,31883130423
Obvod trojuholníka: o = 54,06
Semiperimeter (poloobvod): s = 27,03
Uhol ∠ A = α = 25,01217125229° = 25°42″ = 0,43765367351 rad
Uhol ∠ B = β = 74,99656738676° = 74°59'44″ = 1,30989214337 rad
Uhol ∠ C = γ = 79,99326136094° = 79°59'33″ = 1,39661344848 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 21,66552778904
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 9,48334830038
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 9,30216774893
Ťažnica: ta = 21,68879742023
Ťažnica: tb = 13,30111616034
Ťažnica: tc = 12,7511165633
Polomer vpísanej kružnice: r = 3,85993530537
Polomer opísanej kružnice: R = 11,38882684195
Súradnice vrcholov: A[22,43; 0] B[0; 0] C[2,4933129737; 9,30216774893]
Ťažisko: T[8,30877099123; 3,10105591631]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[11,215; 1,97989978766]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,03; 3,85993530537]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 154,98882874771° = 154°59'18″ = 0,43765367351 rad
∠ B' = β' = 105,00443261324° = 105°16″ = 1,30989214337 rad
∠ C' = γ' = 100,00773863906° = 100°27″ = 1,39661344848 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=9,63 b=22 c=22,43
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=9,63+22+22,43=54,06
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=254,06=27,03
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=27,03(27,03−9,63)(27,03−22)(27,03−22,43) S=10882,31=104,32
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=9,632⋅ 104,32=21,67 vb=b2 S=222⋅ 104,32=9,48 vc=c2 S=22,432⋅ 104,32=9,3
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 22⋅ 22,43222+22,432−9,632)=25°42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 9,63⋅ 22,439,632+22,432−222)=74°59′44" γ=180°−α−β=180°−25°42"−74°59′44"=79°59′33"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=27,03104,32=3,86
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 3,859⋅ 27,039,63⋅ 22⋅ 22,43=11,39
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 222+2⋅ 22,432−9,632=21,688 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 22,432+2⋅ 9,632−222=13,301 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 9,632+2⋅ 222−22,432=12,751
Vypočítať ďaľší trojuholník