Trojuholník 6 7 8

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 6
b = 7
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 20,33331625676
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5

Uhol ∠ A = α = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Uhol ∠ B = β = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 1,01107210206 rad
Uhol ∠ C = γ = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,31881160717 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 6,77877208559
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 5,80994750193
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 5,08332906419

Ťažnica: t_a = 6,8922024376
Ťažnica: t_b = 6,14441028637
Ťažnica: t_c = 5,14878150705

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,93664916731
Polomer opísanej kružnice: R = 4,1311182236

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[3,18875; 5,08332906419]
Ťažisko: T[3,72991666667; 1,6944430214]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; 1,0332795559]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,93664916731]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ B' = β' = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 1,01107210206 rad
∠ C' = γ' = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,31881160717 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 7 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 7 + 8 = 21

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 1}{2} = 10, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 10, 5 (10, 5 - 6) (10, 5 - 7) (10, 5 - 8) S = 413, 44 = 20, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 0 , 3 3}{6} = 6, 78 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 0 , 3 3}{7} = 5, 81 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 0 , 3 3}{8} = 5, 08

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 8}) = 46 ° 3 4^{'} 3 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 8 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 8}) = 57 ° 5 4^{'} 36 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 46 ° 3 4^{'} 3 " - 57 ° 5 4^{'} 36 " = 75 ° 3 1^{'} 21 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 0 , 3 3}{1 0 , 5} = 1, 94

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{4 \cdot 1 , 9 3 6 \cdot 1 0 , 5} = 4, 13

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 6, 892 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 6, 144 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 5, 148

Vypočítať ďaľší trojuholník