Trojuholník 1 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 1 b = 9 c = 9Obsah trojuholníka: S = 4,49330501889
Obvod trojuholníka: o = 19
Semiperimeter (poloobvod): s = 9,5
Uhol ∠ A = α = 6,36994770734° = 6°22'10″ = 0,11111683466 rad
Uhol ∠ B = β = 86,81552614633° = 86°48'55″ = 1,51552121535 rad
Uhol ∠ C = γ = 86,81552614633° = 86°48'55″ = 1,51552121535 rad
Výška trojuholníka: va = 8,98661003778
Výška trojuholníka: vb = 0,99884555975
Výška trojuholníka: vc = 0,99884555975
Ťažnica: ta = 8,98661003778
Ťažnica: tb = 4,55552167896
Ťažnica: tc = 4,55552167896
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,47329526515
Polomer opísanej kružnice: R = 4,5076960561
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[0,05655555556; 0,99884555975]
Ťažisko: T[3,01985185185; 0,33328185325]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,25503866978]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[0,5; 0,47329526515]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 173,63105229266° = 173°37'50″ = 0,11111683466 rad
∠ B' = β' = 93,18547385367° = 93°11'5″ = 1,51552121535 rad
∠ C' = γ' = 93,18547385367° = 93°11'5″ = 1,51552121535 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=1 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=1+9+9=19
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=219=9,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9,5(9,5−1)(9,5−9)(9,5−9) S=20,19=4,49
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=12⋅ 4,49=8,99 vb=b2 S=92⋅ 4,49=1 vc=c2 S=92⋅ 4,49=1
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−12)=6°22′10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 1⋅ 912+92−92)=86°48′55" γ=180°−α−β=180°−6°22′10"−86°48′55"=86°48′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=9,54,49=0,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,473⋅ 9,51⋅ 9⋅ 9=4,51
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−12=8,986 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 12−92=4,555 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 12+2⋅ 92−92=4,555
Vypočítať ďaľší trojuholník