Trojuholník 2 13 14
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 13 c = 14Obsah trojuholníka: S = 11,65992238164
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 7,36111606635° = 7°21'40″ = 0,12884764903 rad
Uhol ∠ B = β = 56,38876254015° = 56°23'15″ = 0,98441497206 rad
Uhol ∠ C = γ = 116,2511213935° = 116°15'4″ = 2,02989664426 rad
Výška trojuholníka: va = 11,65992238164
Výška trojuholníka: vb = 1,7943726741
Výška trojuholníka: vc = 1,66656034023
Ťažnica: ta = 13,47221935853
Ťažnica: tb = 7,59993420768
Ťažnica: tc = 6,1243724357
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,80440844011
Polomer opísanej kružnice: R = 7,80549792536
Súradnice vrcholov: A[14; 0] B[0; 0] C[1,10771428571; 1,66656034023]
Ťažisko: T[5,03657142857; 0,55552011341]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7; -3,45222023622]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,80440844011]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 172,63988393365° = 172°38'20″ = 0,12884764903 rad
∠ B' = β' = 123,61223745985° = 123°36'45″ = 0,98441497206 rad
∠ C' = γ' = 63,7498786065° = 63°44'56″ = 2,02989664426 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=13 c=14
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+13+14=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−2)(14,5−13)(14,5−14) S=135,94=11,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 11,66=11,66 vb=b2 S=132⋅ 11,66=1,79 vc=c2 S=142⋅ 11,66=1,67
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 13⋅ 14132+142−22)=7°21′40" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 1422+142−132)=56°23′15" γ=180°−α−β=180°−7°21′40"−56°23′15"=116°15′4"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,511,66=0,8
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,804⋅ 14,52⋅ 13⋅ 14=7,8
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 132+2⋅ 142−22=13,472 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 142+2⋅ 22−132=7,599 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 132−142=6,124
Vypočítať ďaľší trojuholník