Trojuholník 2 3 4
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 3 c = 4Obsah trojuholníka: S = 2,90547375097
Obvod trojuholníka: o = 9
Semiperimeter (poloobvod): s = 4,5
Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 46,56774634422° = 46°34'3″ = 0,81327555614 rad
Uhol ∠ C = γ = 104,47875121859° = 104°28'39″ = 1,82334765819 rad
Výška trojuholníka: va = 2,90547375097
Výška trojuholníka: vb = 1,93664916731
Výška trojuholníka: vc = 1,45223687548
Ťažnica: ta = 3,39111649916
Ťažnica: tb = 2,78438821814
Ťažnica: tc = 1,58111388301
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,64554972244
Polomer opísanej kružnice: R = 2,0665591118
Súradnice vrcholov: A[4; 0] B[0; 0] C[1,375; 1,45223687548]
Ťažisko: T[1,79216666667; 0,48441229183]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[2; -0,51663977795]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,64554972244]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 133,43325365578° = 133°25'57″ = 0,81327555614 rad
∠ C' = γ' = 75,52224878141° = 75°31'21″ = 1,82334765819 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=3 c=4
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+3+4=9
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=29=4,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=4,5(4,5−2)(4,5−3)(4,5−4) S=8,44=2,9
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 2,9=2,9 vb=b2 S=32⋅ 2,9=1,94 vc=c2 S=42⋅ 2,9=1,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 3⋅ 432+42−22)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 422+42−32)=46°34′3" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−46°34′3"=104°28′39"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=4,52,9=0,65
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,645⋅ 4,52⋅ 3⋅ 4=2,07
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 32+2⋅ 42−22=3,391 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 42+2⋅ 22−32=2,784 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 32−42=1,581
Vypočítať ďaľší trojuholník