Trojuholník 2 5 6
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 5 c = 6Obsah trojuholníka: S = 4,68437484988
Obvod trojuholníka: o = 13
Semiperimeter (poloobvod): s = 6,5
Uhol ∠ A = α = 18,19548723388° = 18°11'42″ = 0,31875604293 rad
Uhol ∠ B = β = 51,31878125465° = 51°19'4″ = 0,89656647939 rad
Uhol ∠ C = γ = 110,48773151147° = 110°29'14″ = 1,92883674304 rad
Výška trojuholníka: va = 4,68437484988
Výška trojuholníka: vb = 1,87334993995
Výška trojuholníka: vc = 1,56112494996
Ťažnica: ta = 5,43113902456
Ťažnica: tb = 3,70880992435
Ťažnica: tc = 2,34552078799
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,72105766921
Polomer opísanej kružnice: R = 3,20325630761
Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[1,25; 1,56112494996]
Ťažisko: T[2,41766666667; 0,52204164999]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; -1,12108970766]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,72105766921]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 161,80551276612° = 161°48'18″ = 0,31875604293 rad
∠ B' = β' = 128,68221874535° = 128°40'56″ = 0,89656647939 rad
∠ C' = γ' = 69,51326848853° = 69°30'46″ = 1,92883674304 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=5 c=6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+5+6=13
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=213=6,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=6,5(6,5−2)(6,5−5)(6,5−6) S=21,94=4,68
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 4,68=4,68 vb=b2 S=52⋅ 4,68=1,87 vc=c2 S=62⋅ 4,68=1,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 652+62−22)=18°11′42" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 622+62−52)=51°19′4" γ=180°−α−β=180°−18°11′42"−51°19′4"=110°29′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=6,54,68=0,72
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,721⋅ 6,52⋅ 5⋅ 6=3,2
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 62−22=5,431 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 22−52=3,708 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 52−62=2,345
Vypočítať ďaľší trojuholník