Trojuholník 2 6 7
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 6 c = 7Obsah trojuholníka: S = 5,56221488653
Obvod trojuholníka: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Uhol ∠ A = α = 15,35988855808° = 15°21'32″ = 0,26880631228 rad
Uhol ∠ B = β = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Uhol ∠ C = γ = 112,0244312837° = 112°1'28″ = 1,95551931013 rad
Výška trojuholníka: va = 5,56221488653
Výška trojuholníka: vb = 1,85440496218
Výška trojuholníka: vc = 1,58991853901
Ťažnica: ta = 6,44220493634
Ťažnica: tb = 4,18333001327
Ťažnica: tc = 2,78438821814
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,74216198487
Polomer opísanej kružnice: R = 3,77655192298
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[1,21442857143; 1,58991853901]
Ťažisko: T[2,73880952381; 0,53297284634]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -1,41658197112]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 0,74216198487]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 164,64111144192° = 164°38'28″ = 0,26880631228 rad
∠ B' = β' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ C' = γ' = 67,9765687163° = 67°58'32″ = 1,95551931013 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=6 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+6+7=15
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−2)(7,5−6)(7,5−7) S=30,94=5,56
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 5,56=5,56 vb=b2 S=62⋅ 5,56=1,85 vc=c2 S=72⋅ 5,56=1,59
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 762+72−22)=15°21′32" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 722+72−62)=52°37′ γ=180°−α−β=180°−15°21′32"−52°37′=112°1′28"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=7,55,56=0,74
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,742⋅ 7,52⋅ 6⋅ 7=3,78
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 72−22=6,442 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 22−62=4,183 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 62−72=2,784
Vypočítať ďaľší trojuholník