Trojuholník 2 7 7
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 2 b = 7 c = 7Obsah trojuholníka: S = 6,92882032303
Obvod trojuholníka: o = 16
Semiperimeter (poloobvod): s = 8
Uhol ∠ A = α = 16,42664214035° = 16°25'35″ = 0,28766951378 rad
Uhol ∠ B = β = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad
Uhol ∠ C = γ = 81,78767892983° = 81°47'12″ = 1,42774487579 rad
Výška trojuholníka: va = 6,92882032303
Výška trojuholníka: vb = 1,97994866372
Výška trojuholníka: vc = 1,97994866372
Ťažnica: ta = 6,92882032303
Ťažnica: tb = 3,77549172176
Ťažnica: tc = 3,77549172176
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,86660254038
Polomer opísanej kružnice: R = 3,53662703988
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[0,28657142857; 1,97994866372]
Ťažisko: T[2,42985714286; 0,66598288791]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,50551814855]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1; 0,86660254038]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,57435785965° = 163°34'25″ = 0,28766951378 rad
∠ B' = β' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad
∠ C' = γ' = 98,21332107017° = 98°12'48″ = 1,42774487579 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=2 b=7 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=2+7+7=16
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=216=8
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8(8−2)(8−7)(8−7) S=48=6,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=22⋅ 6,93=6,93 vb=b2 S=72⋅ 6,93=1,98 vc=c2 S=72⋅ 6,93=1,98
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 772+72−22)=16°25′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 2⋅ 722+72−72)=81°47′12" γ=180°−α−β=180°−16°25′35"−81°47′12"=81°47′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=86,93=0,87
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,866⋅ 82⋅ 7⋅ 7=3,54
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 72−22=6,928 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 22−72=3,775 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 22+2⋅ 72−72=3,775
Vypočítať ďaľší trojuholník