Trojuholník 3 9 11

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 3 b = 9 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 11,05438454847
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 12,90435205392° = 12°54'13″ = 0,22552089185 rad
Uhol ∠ B = β = 42,06216646665° = 42°3'42″ = 0,73441145373 rad
Uhol ∠ C = γ = 125,03548147943° = 125°2'5″ = 2,18222691978 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,36992303231
Výška trojuholníka: v_b = 2,45664101077
Výška trojuholníka: v_c = 2,01097900881

Ťažnica: t_a = 9,93773034572
Ťažnica: t_b = 6,69895440801
Ťažnica: t_c = 3,84105728739

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,96112039552
Polomer opísanej kružnice: R = 6,71771194045

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[2,22772727273; 2,01097900881]
Ťažisko: T[4,40990909091; 0,67699300294]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -3,85661241026]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 0,96112039552]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 167,09664794608° = 167°5'47″ = 0,22552089185 rad
∠ B' = β' = 137,93883353335° = 137°56'18″ = 0,73441145373 rad
∠ C' = γ' = 54,96551852057° = 54°57'55″ = 2,18222691978 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 3 b = 9 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 3 + 9 + 11 = 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 3) (11, 5 - 9) (11, 5 - 11) S = 122, 19 = 11, 05

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{3} = 7, 37 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{9} = 2, 46 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 1 , 0 5}{1 1} = 2, 01

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{9 ^{2} + 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2 \cdot 9 \cdot 1 1}) = 12 ° 5 4^{'} 13 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{3 ^{2} + 1 1 ^{2} - 9 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 1 1}) = 42 ° 3^{'} 42 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 12 ° 5 4^{'} 13 " - 42 ° 3^{'} 42 " = 125 ° 2^{'} 5 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 1 , 0 5}{1 1 , 5} = 0, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{3 \cdot 9 \cdot 1 1}{4 \cdot 0 , 9 6 1 \cdot 1 1 , 5} = 6, 72

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 3 ^{2}}{2} = 9, 937 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 3 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 69 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 3 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 3, 841

Vypočítať ďaľší trojuholník