Trojuholník 3 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 3 b = 9 c = 9Obsah trojuholníka: S = 13,3111179512
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Uhol ∠ A = α = 19,18881364537° = 19°11'17″ = 0,33548961584 rad
Uhol ∠ B = β = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Uhol ∠ C = γ = 80,40659317731° = 80°24'21″ = 1,40333482476 rad
Výška trojuholníka: va = 8,87441196746
Výška trojuholníka: vb = 2,95880398915
Výška trojuholníka: vc = 2,95880398915
Ťažnica: ta = 8,87441196746
Ťažnica: tb = 4,97549371855
Ťažnica: tc = 4,97549371855
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,26877313821
Polomer opísanej kružnice: R = 4,56438329755
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[0,5; 2,95880398915]
Ťažisko: T[3,16766666667; 0,98660132972]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 0,76106388293]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[1,5; 1,26877313821]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 160,81218635463° = 160°48'43″ = 0,33548961584 rad
∠ B' = β' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
∠ C' = γ' = 99,59440682269° = 99°35'39″ = 1,40333482476 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=3 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=3+9+9=21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−3)(10,5−9)(10,5−9) S=177,19=13,31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=32⋅ 13,31=8,87 vb=b2 S=92⋅ 13,31=2,96 vc=c2 S=92⋅ 13,31=2,96
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−32)=19°11′17" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 3⋅ 932+92−92)=80°24′21" γ=180°−α−β=180°−19°11′17"−80°24′21"=80°24′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,513,31=1,27
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,268⋅ 10,53⋅ 9⋅ 9=4,56
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−32=8,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 32−92=4,975 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 32+2⋅ 92−92=4,975
Vypočítať ďaľší trojuholník