Trojuholník 4 11 13
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 11 c = 13Obsah trojuholníka: S = 20,49439015319
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 16,65661861814° = 16°39'22″ = 0,29107052897 rad
Uhol ∠ B = β = 52,02201275551° = 52°1'12″ = 0,90879225031 rad
Uhol ∠ C = γ = 111,32436862635° = 111°19'25″ = 1,94329648608 rad
Výška trojuholníka: va = 10,2476950766
Výška trojuholníka: vb = 3,72661639149
Výška trojuholníka: vc = 3,1532907928
Ťažnica: ta = 11,8744342087
Ťažnica: tb = 7,8989866919
Ťažnica: tc = 5,1233475383
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,46438501094
Polomer opísanej kružnice: R = 6,97876855216
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[2,46215384615; 3,1532907928]
Ťažisko: T[5,15438461538; 1,05109693093]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -2,53773401897]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3; 1,46438501094]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,34438138187° = 163°20'38″ = 0,29107052897 rad
∠ B' = β' = 127,98798724449° = 127°58'48″ = 0,90879225031 rad
∠ C' = γ' = 68,67663137365° = 68°40'35″ = 1,94329648608 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=11 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+11+13=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−4)(14−11)(14−13) S=420=20,49
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 20,49=10,25 vb=b2 S=112⋅ 20,49=3,73 vc=c2 S=132⋅ 20,49=3,15
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 11⋅ 13112+132−42)=16°39′22" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 1342+132−112)=52°1′12" γ=180°−α−β=180°−16°39′22"−52°1′12"=111°19′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1420,49=1,46
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,464⋅ 144⋅ 11⋅ 13=6,98
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 112+2⋅ 132−42=11,874 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 42−112=7,89 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 112−132=5,123
Vypočítať ďaľší trojuholník