Trojuholník 4 4 7
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 4
b = 4
c = 7
Obsah trojuholníka: S = 6,77877208559
Obvod trojuholníka: o = 15
Semiperimeter (poloobvod): s = 7,5
Uhol ∠ A = α = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ B = β = 28,95550243719° = 28°57'18″ = 0,50553605103 rad
Uhol ∠ C = γ = 122,09899512563° = 122°5'24″ = 2,1310871633 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 3,38988604279
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 3,38988604279
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 1,93664916731
Ťažnica: ta = 5,3398539126
Ťažnica: tb = 5,3398539126
Ťažnica: tc = 1,93664916731
Polomer vpísanej kružnice: r = 0,90436961141
Polomer opísanej kružnice: R = 4,1311182236
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[3,5; 1,93664916731]
Ťažisko: T[3,5; 0,64554972244]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; -2,19546905629]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 0,90436961141]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ B' = β' = 151,04549756281° = 151°2'42″ = 0,50553605103 rad
∠ C' = γ' = 57,91100487437° = 57°54'36″ = 2,1310871633 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=4 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+4+7=15
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=215=7,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=7,5(7,5−4)(7,5−4)(7,5−7) S=45,94=6,78
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 6,78=3,39 vb=b2 S=42⋅ 6,78=3,39 vc=c2 S=72⋅ 6,78=1,94
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 4⋅ 742+72−42)=28°57′18" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 742+72−42)=28°57′18" γ=180°−α−β=180°−28°57′18"−28°57′18"=122°5′24"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=7,56,78=0,9
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 0,904⋅ 7,54⋅ 4⋅ 7=4,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 42+2⋅ 72−42=5,339 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 42−42=5,339 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 42−72=1,936
Vypočítať ďaľší trojuholník