Trojuholník 4 5 8

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Dĺžky strán trojuholníka:
a = 4
b = 5
c = 8

Obsah trojuholníka: S = 8,1821534086
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5

Uhol ∠ A = α = 24,14768479965° = 24°8'49″ = 0,42114420015 rad
Uhol ∠ B = β = 30,75435198081° = 30°45'13″ = 0,53767501772 rad
Uhol ∠ C = γ = 125.10996321954° = 125°5'59″ = 2,18334004748 rad

Výška trojuholníka na stranu a: v_a = 4,0910767043
Výška trojuholníka na stranu b: v_b = 3,27326136344
Výška trojuholníka na stranu c: v_c = 2,04553835215

Ťažnica: t_a = 6,36439610307
Ťažnica: t_b = 5,80994750193
Ťažnica: t_c = 2,12113203436

Polomer vpísanej kružnice: r = 0,96325334219
Polomer opísanej kružnice: R = 4,88990586508

Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[3,43875; 2,04553835215]
Ťažisko: T[3,81325; 0,68217945072]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -2,81112087242]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 0,96325334219]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,85331520035° = 155°51'11″ = 0,42114420015 rad
∠ B' = β' = 149,24664801919° = 149°14'47″ = 0,53767501772 rad
∠ C' = γ' = 54.99003678046° = 54°54'1″ = 2,18334004748 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 5 c = 8

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 5 + 8 = 17

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{1 7}{2} = 8, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 8, 5 (8, 5 - 4) (8, 5 - 5) (8, 5 - 8) S = 66, 94 = 8, 18

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{4} = 4, 09 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{5} = 3, 27 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 8 , 1 8}{8} = 2, 05

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{5 ^{2} + 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 8}) = 24 ° 8^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 8 ^{2} - 5 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 8}) = 30 ° 4 5^{'} 13 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 24 ° 8^{'} 49 " - 30 ° 4 5^{'} 13 " = 125 ° 5^{'} 59 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{8 , 1 8}{8 , 5} = 0, 96

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 8}{4 \cdot 0 , 9 6 3 \cdot 8 , 5} = 4, 89

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 5 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 6, 364 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 5 ^{2}}{2} = 5, 809 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 2, 121

Vypočítať ďaľší trojuholník