Trojuholník 4 8 11

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 4 b = 8 c = 11

Obsah trojuholníka: S = 12,28656623753
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5

Uhol ∠ A = α = 16,2143633496° = 16°12'49″ = 0,28329812882 rad
Uhol ∠ B = β = 33,9487926527° = 33°56'53″ = 0,59325030921 rad
Uhol ∠ C = γ = 129,8388439977° = 129°50'18″ = 2,26661082733 rad

Výška trojuholníka: v_a = 6,14328311877
Výška trojuholníka: v_b = 3,07114155938
Výška trojuholníka: v_c = 2,23437567955

Ťažnica: t_a = 9,40774438611
Ťažnica: t_b = 7,24656883731
Ťažnica: t_c = 3,12224989992

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,06883184674
Polomer opísanej kružnice: R = 7,16328209625

Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[3,31881818182; 2,23437567955]
Ťažisko: T[4,77327272727; 0,74545855985]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -4,58986821791]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,06883184674]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 163,7866366504° = 163°47'11″ = 0,28329812882 rad
∠ B' = β' = 146,0522073473° = 146°3'7″ = 0,59325030921 rad
∠ C' = γ' = 50,1621560023° = 50°9'42″ = 2,26661082733 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 4 b = 8 c = 11

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 4 + 8 + 11 = 23

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 3}{2} = 11, 5

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 11, 5 (11, 5 - 4) (11, 5 - 8) (11, 5 - 11) S = 150, 94 = 12, 29

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 1 2 , 2 9}{4} = 6, 14 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 1 2 , 2 9}{8} = 3, 07 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 1 2 , 2 9}{1 1} = 2, 23

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 1 ^{2} - 4 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 1}) = 16 ° 1 2^{'} 49 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{4 ^{2} + 1 1 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 1 1}) = 33 ° 5 6^{'} 53 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 16 ° 1 2^{'} 49 " - 33 ° 5 6^{'} 53 " = 129 ° 5 0^{'} 18 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{1 2 , 2 9}{1 1 , 5} = 1, 07

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{4 \cdot 8 \cdot 1 1}{4 \cdot 1 , 0 6 8 \cdot 1 1 , 5} = 7, 16

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 1 ^{2} - 4 ^{2}}{2} = 9, 407 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 1 ^{2} + 2 \cdot 4 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 7, 246 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 4 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 1 ^{2}}{2} = 3, 122

Vypočítať ďaľší trojuholník