Trojuholník 4 8 9
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 4 b = 8 c = 9Obsah trojuholníka: S = 15,99880467558
Obvod trojuholníka: o = 21
Semiperimeter (poloobvod): s = 10,5
Uhol ∠ A = α = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ B = β = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 1,09546772659 rad
Uhol ∠ C = γ = 90,89552829866° = 90°53'43″ = 1,58664219626 rad
Výška trojuholníka: va = 7,99990233779
Výška trojuholníka: vb = 43,9995116889
Výška trojuholníka: vc = 3,55551215013
Ťažnica: ta = 8,27664726786
Ťažnica: tb = 5,70108771255
Ťažnica: tc = 4,44440972087
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,52436235006
Polomer opísanej kružnice: R = 4,5010549417
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[1,83333333333; 3,55551215013]
Ťažisko: T[3,61111111111; 1,18550405004]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; -0,07703210846]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,52436235006]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ B' = β' = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 1,09546772659 rad
∠ C' = γ' = 89,10547170134° = 89°6'17″ = 1,58664219626 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=4 b=8 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=4+8+9=21
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=221=10,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=10,5(10,5−4)(10,5−8)(10,5−9) S=255,94=16
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=42⋅ 16=8 vb=b2 S=82⋅ 16=4 vc=c2 S=92⋅ 16=3,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 982+92−42)=26°23′4" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 4⋅ 942+92−82)=62°43′13" γ=180°−α−β=180°−26°23′4"−62°43′13"=90°53′43"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=10,516=1,52
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,524⋅ 10,54⋅ 8⋅ 9=4,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 92−42=8,276 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 42−82=5,701 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 42+2⋅ 82−92=4,444
Vypočítať ďaľší trojuholník