Trojuholník 5 12 12
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 5
b = 12
c = 12
Obsah trojuholníka: S = 29,34217364858
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 24,04993983611° = 24°2'58″ = 0,42197411845 rad
Uhol ∠ B = β = 77,97553008194° = 77°58'31″ = 1,36109257345 rad
Uhol ∠ C = γ = 77,97553008194° = 77°58'31″ = 1,36109257345 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 11,73766945943
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 4,89902894143
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 4,89902894143
Ťažnica: ta = 11,73766945943
Ťažnica: tb = 6,96441941386
Ťažnica: tc = 6,96441941386
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,02435680335
Polomer opísanej kružnice: R = 6,13546062489
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[1,04216666667; 4,89902894143]
Ťažisko: T[4,34772222222; 1,63300964714]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; 1,27880429685]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 2,02435680335]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 155,95106016389° = 155°57'2″ = 0,42197411845 rad
∠ B' = β' = 102,02546991806° = 102°1'29″ = 1,36109257345 rad
∠ C' = γ' = 102,02546991806° = 102°1'29″ = 1,36109257345 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=12 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+12+12=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−5)(14,5−12)(14,5−12) S=860,94=29,34
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 29,34=11,74 vb=b2 S=122⋅ 29,34=4,89 vc=c2 S=122⋅ 29,34=4,89
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 12⋅ 12122+122−52)=24°2′58" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 1252+122−122)=77°58′31" γ=180°−α−β=180°−24°2′58"−77°58′31"=77°58′31"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,529,34=2,02
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,024⋅ 14,55⋅ 12⋅ 12=6,13
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 122+2⋅ 122−52=11,737 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 52−122=6,964 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 122−122=6,964
Vypočítať ďaľší trojuholník