Trojuholník 5 5 7
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 5 c = 7Obsah trojuholníka: S = 12,497749975
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Uhol ∠ A = α = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Uhol ∠ B = β = 45,57329959992° = 45°34'23″ = 0,79553988302 rad
Uhol ∠ C = γ = 88,85440080016° = 88°51'14″ = 1,55107949932 rad
Výška trojuholníka: va = 4,99989999
Výška trojuholníka: vb = 4,99989999
Výška trojuholníka: vc = 3,57107142143
Ťažnica: ta = 5,54552682532
Ťažnica: tb = 5,54552682532
Ťažnica: tc = 3,57107142143
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,47702940882
Polomer opísanej kružnice: R = 3,50107002101
Súradnice vrcholov: A[7; 0] B[0; 0] C[3,5; 3,57107142143]
Ťažisko: T[3,5; 1,19902380714]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3,5; 0,07700140042]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 1,47702940882]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ B' = β' = 134,42770040008° = 134°25'37″ = 0,79553988302 rad
∠ C' = γ' = 91,14659919984° = 91°8'46″ = 1,55107949932 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=5 c=7
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+5+7=17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−5)(8,5−5)(8,5−7) S=156,19=12,5
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 12,5=5 vb=b2 S=52⋅ 12,5=5 vc=c2 S=72⋅ 12,5=3,57
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−52)=45°34′23" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 752+72−52)=45°34′23" γ=180°−α−β=180°−45°34′23"−45°34′23"=88°51′14"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,512,5=1,47
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,47⋅ 8,55⋅ 5⋅ 7=3,5
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 72−52=5,545 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 72+2⋅ 52−52=5,545 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 52−72=3,571
Vypočítať ďaľší trojuholník