Trojuholník 5 5 8
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 5 c = 8Obsah trojuholníka: S = 12
Obvod trojuholníka: o = 18
Semiperimeter (poloobvod): s = 9
Uhol ∠ A = α = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ B = β = 36,87698976458° = 36°52'12″ = 0,64435011088 rad
Uhol ∠ C = γ = 106,26602047083° = 106°15'37″ = 1,8554590436 rad
Výška trojuholníka: va = 4,8
Výška trojuholníka: vb = 4,8
Výška trojuholníka: vc = 3
Ťažnica: ta = 6,18546584384
Ťažnica: tb = 6,18546584384
Ťažnica: tc = 3
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,33333333333
Polomer opísanej kružnice: R = 4,16766666667
Súradnice vrcholov: A[8; 0] B[0; 0] C[4; 3]
Ťažisko: T[4; 1]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4; -1,16766666667]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 1,33333333333]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ B' = β' = 143,13301023542° = 143°7'48″ = 0,64435011088 rad
∠ C' = γ' = 73,74397952917° = 73°44'23″ = 1,8554590436 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=5 c=8
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+5+8=18
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=218=9
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=9(9−5)(9−5)(9−8) S=144=12
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 12=4,8 vb=b2 S=52⋅ 12=4,8 vc=c2 S=82⋅ 12=3
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 5⋅ 852+82−52)=36°52′12" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 852+82−52)=36°52′12" γ=180°−α−β=180°−36°52′12"−36°52′12"=106°15′37"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=912=1,33
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,333⋅ 95⋅ 5⋅ 8=4,17
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 52+2⋅ 82−52=6,185 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 82+2⋅ 52−52=6,185 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 52−82=3
Vypočítať ďaľší trojuholník