Trojuholník 5 6 6
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 5 b = 6 c = 6Obsah trojuholníka: S = 13,63658901433
Obvod trojuholníka: o = 17
Semiperimeter (poloobvod): s = 8,5
Uhol ∠ A = α = 49,24986367043° = 49°14'55″ = 0,86595508626 rad
Uhol ∠ B = β = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Uhol ∠ C = γ = 65,37656816478° = 65°22'32″ = 1,14110208955 rad
Výška trojuholníka: va = 5,45443560573
Výška trojuholníka: vb = 4,54552967144
Výška trojuholníka: vc = 4,54552967144
Ťažnica: ta = 5,45443560573
Ťažnica: tb = 4,63768092477
Ťažnica: tc = 4,63768092477
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,60442223698
Polomer opísanej kružnice: R = 3.33001145893
Súradnice vrcholov: A[6; 0] B[0; 0] C[2,08333333333; 4,54552967144]
Ťažisko: T[2,69444444444; 1,51550989048]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[3; 1,37550477455]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[2,5; 1,60442223698]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 130,75113632957° = 130°45'5″ = 0,86595508626 rad
∠ B' = β' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
∠ C' = γ' = 114,62443183522° = 114°37'28″ = 1,14110208955 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=5 b=6 c=6
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=5+6+6=17
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=217=8,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=8,5(8,5−5)(8,5−6)(8,5−6) S=185,94=13,64
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=52⋅ 13,64=5,45 vb=b2 S=62⋅ 13,64=4,55 vc=c2 S=62⋅ 13,64=4,55
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 6⋅ 662+62−52)=49°14′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 5⋅ 652+62−62)=65°22′32" γ=180°−α−β=180°−49°14′55"−65°22′32"=65°22′32"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=8,513,64=1,6
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,604⋅ 8,55⋅ 6⋅ 6=3,3
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 62+2⋅ 62−52=5,454 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 62+2⋅ 52−62=4,637 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 52+2⋅ 62−62=4,637
Vypočítať ďaľší trojuholník