Trojuholník 6 10 12
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 10 c = 12Obsah trojuholníka: S = 29,93332590942
Obvod trojuholníka: o = 28
Semiperimeter (poloobvod): s = 14
Uhol ∠ A = α = 29,92664348666° = 29°55'35″ = 0,52223148218 rad
Uhol ∠ B = β = 56,25110114041° = 56°15'4″ = 0,98217653566 rad
Uhol ∠ C = γ = 93,82325537293° = 93°49'21″ = 1,63875124752 rad
Výška trojuholníka: va = 9,97877530314
Výška trojuholníka: vb = 5,98766518188
Výška trojuholníka: vc = 4,98988765157
Ťažnica: ta = 10,63301458127
Ťažnica: tb = 8,06222577483
Ťažnica: tc = 5,65768542495
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,13880899353
Polomer opísanej kružnice: R = 6,0133377943
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[3,33333333333; 4,98988765157]
Ťažisko: T[5,11111111111; 1,66329588386]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -0,40108918629]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,13880899353]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 150,07435651334° = 150°4'25″ = 0,52223148218 rad
∠ B' = β' = 123,74989885959° = 123°44'56″ = 0,98217653566 rad
∠ C' = γ' = 86,17774462707° = 86°10'39″ = 1,63875124752 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=10 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+10+12=28
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=228=14
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14(14−6)(14−10)(14−12) S=896=29,93
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 29,93=9,98 vb=b2 S=102⋅ 29,93=5,99 vc=c2 S=122⋅ 29,93=4,99
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 10⋅ 12102+122−62)=29°55′35" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1262+122−102)=56°15′4" γ=180°−α−β=180°−29°55′35"−56°15′4"=93°49′21"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1429,93=2,14
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,138⋅ 146⋅ 10⋅ 12=6,01
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 102+2⋅ 122−62=10,63 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 62−102=8,062 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 102−122=5,657
Vypočítať ďaľší trojuholník