Trojuholník 6 7 10
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 6 b = 7 c = 10Obsah trojuholníka: S = 20,66224659709
Obvod trojuholníka: o = 23
Semiperimeter (poloobvod): s = 11,5
Uhol ∠ A = α = 36,18222872212° = 36°10'56″ = 0,63215000429 rad
Uhol ∠ B = β = 43,53111521674° = 43°31'52″ = 0,76597619325 rad
Uhol ∠ C = γ = 100,28765606115° = 100°17'12″ = 1,75503306782 rad
Výška trojuholníka: va = 6,8877488657
Výška trojuholníka: vb = 5,9043561706
Výška trojuholníka: vc = 4,13224931942
Ťažnica: ta = 8,09332070281
Ťažnica: tb = 7,46765922615
Ťažnica: tc = 4,18333001327
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,79767361714
Polomer opísanej kružnice: R = 5,08216780605
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,35; 4,13224931942]
Ťažisko: T[4,78333333333; 1,37774977314]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; -0,90774425108]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 1,79767361714]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 143,81877127789° = 143°49'4″ = 0,63215000429 rad
∠ B' = β' = 136,46988478326° = 136°28'8″ = 0,76597619325 rad
∠ C' = γ' = 79,71334393885° = 79°42'48″ = 1,75503306782 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=6 b=7 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=6+7+10=23
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=223=11,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=11,5(11,5−6)(11,5−7)(11,5−10) S=426,94=20,66
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=62⋅ 20,66=6,89 vb=b2 S=72⋅ 20,66=5,9 vc=c2 S=102⋅ 20,66=4,13
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−62)=36°10′56" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 6⋅ 1062+102−72)=43°31′52" γ=180°−α−β=180°−36°10′56"−43°31′52"=100°17′12"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=11,520,66=1,8
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,797⋅ 11,56⋅ 7⋅ 10=5,08
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 102−62=8,093 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 62−72=7,467 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 62+2⋅ 72−102=4,183
Vypočítať ďaľší trojuholník