Trojuholník 6 8 12

Tupouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 6 b = 8 c = 12

Obsah trojuholníka: S = 21,33107290077
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13

Uhol ∠ A = α = 26,38443297494° = 26°23'4″ = 0,46604934251 rad
Uhol ∠ B = β = 36,33660575146° = 36°20'10″ = 0,63441838408 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,2879612736° = 117°16'47″ = 2,04769153877 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,11102430026
Výška trojuholníka: v_b = 5,33326822519
Výška trojuholníka: v_c = 3,55551215013

Ťažnica: t_a = 9,74767943448
Ťažnica: t_b = 8,6022325267
Ťažnica: t_c = 3,74216573868

Polomer vpísanej kružnice: r = 1,64108253083
Polomer opísanej kružnice: R = 6,75108241255

Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[4,83333333333; 3,55551215013]
Ťažisko: T[5,61111111111; 1,18550405004]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -3,09441277242]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5; 1,64108253083]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 153,61656702506° = 153°36'56″ = 0,46604934251 rad
∠ B' = β' = 143,66439424854° = 143°39'50″ = 0,63441838408 rad
∠ C' = γ' = 62,7220387264° = 62°43'13″ = 2,04769153877 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 6 b = 8 c = 12

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 6 + 8 + 12 = 26

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 6}{2} = 13

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 13 (13 - 6) (13 - 8) (13 - 12) S = 455 = 21, 33

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 1 , 3 3}{6} = 7, 11 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 1 , 3 3}{8} = 5, 33 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 1 , 3 3}{1 2} = 3, 56

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 1 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 1 2}) = 26 ° 2 3^{'} 4 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{6 ^{2} + 1 2 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 6 \cdot 1 2}) = 36 ° 2 0^{'} 10 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 26 ° 2 3^{'} 4 " - 36 ° 2 0^{'} 10 " = 117 ° 1 6^{'} 47 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 1 , 3 3}{1 3} = 1, 64

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 1 2}{4 \cdot 1 , 6 4 1 \cdot 1 3} = 6, 75

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 1 2 ^{2} - 6 ^{2}}{2} = 9, 747 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 1 2 ^{2} + 2 \cdot 6 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 8, 602 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 6 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 1 2 ^{2}}{2} = 3, 742

Vypočítať ďaľší trojuholník