Trojuholník 7 7 11
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 7 c = 11Obsah trojuholníka: S = 23,81656986041
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ B = β = 38,21332107017° = 38°12'48″ = 0,66769463445 rad
Uhol ∠ C = γ = 103,57435785965° = 103°34'25″ = 1,80876999646 rad
Výška trojuholníka: va = 6,80444853154
Výška trojuholníka: vb = 6,80444853154
Výška trojuholníka: vc = 4,33301270189
Ťažnica: ta = 8,52993610546
Ťažnica: tb = 8,52993610546
Ťažnica: tc = 4,33301270189
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,90552558883
Polomer opísanej kružnice: R = 5,65880326381
Súradnice vrcholov: A[11; 0] B[0; 0] C[5,5; 4,33301270189]
Ťažisko: T[5,5; 1,4433375673]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5,5; -1,32879056191]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,90552558883]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ B' = β' = 141,78767892983° = 141°47'12″ = 0,66769463445 rad
∠ C' = γ' = 76,42664214035° = 76°25'35″ = 1,80876999646 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=7 c=11
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+7+11=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−7)(12,5−7)(12,5−11) S=567,19=23,82
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 23,82=6,8 vb=b2 S=72⋅ 23,82=6,8 vc=c2 S=112⋅ 23,82=4,33
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−72)=38°12′48" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1172+112−72)=38°12′48" γ=180°−α−β=180°−38°12′48"−38°12′48"=103°34′25"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,523,82=1,91
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,905⋅ 12,57⋅ 7⋅ 11=5,66
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 112−72=8,529 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 112+2⋅ 72−72=8,529 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 72−112=4,33
Vypočítať ďaľší trojuholník