Trojuholník 7 7 12
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Dĺžky strán trojuholníka:a = 7
b = 7
c = 12
Obsah trojuholníka: S = 21,63333076528
Obvod trojuholníka: o = 26
Semiperimeter (poloobvod): s = 13
Uhol ∠ A = α = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Uhol ∠ B = β = 31,00327191339° = 31°10″ = 0,5411099526 rad
Uhol ∠ C = γ = 117,99545617323° = 117°59'40″ = 2,05993936017 rad
Výška trojuholníka na stranu a: va = 6,18109450437
Výška trojuholníka na stranu b: vb = 6,18109450437
Výška trojuholníka na stranu c: vc = 3,60655512755
Ťažnica: ta = 9,17987798753
Ťažnica: tb = 9,17987798753
Ťažnica: tc = 3,60655512755
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,66441005887
Polomer opísanej kružnice: R = 6,79550774038
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[6; 3,60655512755]
Ťažisko: T[6; 1,20218504252]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -3,19895261283]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6; 1,66441005887]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ B' = β' = 148,99772808661° = 148°59'50″ = 0,5411099526 rad
∠ C' = γ' = 62,00554382677° = 62°20″ = 2,05993936017 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=7 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+7+12=26
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=226=13
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13(13−7)(13−7)(13−12) S=468=21,63
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 21,63=6,18 vb=b2 S=72⋅ 21,63=6,18 vc=c2 S=122⋅ 21,63=3,61
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−72)=31°10" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−72)=31°10" γ=180°−α−β=180°−31°10"−31°10"=117°59′40"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=1321,63=1,66
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,664⋅ 137⋅ 7⋅ 12=6,8
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 72+2⋅ 122−72=9,179 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 72−72=9,179 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 72−122=3,606
Vypočítať ďaľší trojuholník