Trojuholník 7 8 10
Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 10Obsah trojuholníka: S = 27,81107443266
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 44,04986256741° = 44°2'55″ = 0,7698793549 rad
Uhol ∠ B = β = 52,61768015821° = 52°37' = 0,91883364295 rad
Uhol ∠ C = γ = 83,33545727438° = 83°20'4″ = 1,45444626751 rad
Výška trojuholníka: va = 7,94659269505
Výška trojuholníka: vb = 6,95326860817
Výška trojuholníka: vc = 5,56221488653
Ťažnica: ta = 8,35216465442
Ťažnica: tb = 7,64985292704
Ťažnica: tc = 5,61224860802
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,22548595461
Polomer opísanej kružnice: R = 5,03440256397
Súradnice vrcholov: A[10; 0] B[0; 0] C[4,25; 5,56221488653]
Ťažisko: T[4,75; 1,85440496218]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[5; 0,58443065475]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4,5; 2,22548595461]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 135,95113743259° = 135°57'5″ = 0,7698793549 rad
∠ B' = β' = 127,38331984179° = 127°23' = 0,91883364295 rad
∠ C' = γ' = 96,66554272562° = 96°39'56″ = 1,45444626751 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=8 c=10
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+8+10=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−7)(12,5−8)(12,5−10) S=773,44=27,81
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 27,81=7,95 vb=b2 S=82⋅ 27,81=6,95 vc=c2 S=102⋅ 27,81=5,56
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1082+102−72)=44°2′55" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1072+102−82)=52°37′ γ=180°−α−β=180°−44°2′55"−52°37′=83°20′4"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,527,81=2,22
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,225⋅ 12,57⋅ 8⋅ 10=5,03
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 102−72=8,352 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 102+2⋅ 72−82=7,649 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−102=5,612
Vypočítať ďaľší trojuholník