Trojuholník 7 8 12
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 8 c = 12Obsah trojuholníka: S = 26,9066086672
Obvod trojuholníka: o = 27
Semiperimeter (poloobvod): s = 13,5
Uhol ∠ A = α = 34,09333908114° = 34°5'36″ = 0,59550419228 rad
Uhol ∠ B = β = 39,83881498056° = 39°50'17″ = 0,6955306882 rad
Uhol ∠ C = γ = 106,0688459383° = 106°4'6″ = 1,85112438488 rad
Výška trojuholníka: va = 7,68774533349
Výška trojuholníka: vb = 6,7276521668
Výška trojuholníka: vc = 4,48443477787
Ťažnica: ta = 9,57986220303
Ťažnica: tb = 8,97221792225
Ťažnica: tc = 4,52876925691
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,99330434572
Polomer opísanej kružnice: R = 6,24439403414
Súradnice vrcholov: A[12; 0] B[0; 0] C[5,375; 4,48443477787]
Ťažisko: T[5,79216666667; 1,49547825929]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6; -1,72882334873]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[5,5; 1,99330434572]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 145,90766091886° = 145°54'24″ = 0,59550419228 rad
∠ B' = β' = 140,16218501944° = 140°9'43″ = 0,6955306882 rad
∠ C' = γ' = 73,9321540617° = 73°55'54″ = 1,85112438488 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=8 c=12
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+8+12=27
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=227=13,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=13,5(13,5−7)(13,5−8)(13,5−12) S=723,94=26,91
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 26,91=7,69 vb=b2 S=82⋅ 26,91=6,73 vc=c2 S=122⋅ 26,91=4,48
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1282+122−72)=34°5′36" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1272+122−82)=39°50′17" γ=180°−α−β=180°−34°5′36"−39°50′17"=106°4′6"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=13,526,91=1,99
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,993⋅ 13,57⋅ 8⋅ 12=6,24
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 122−72=9,579 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 122+2⋅ 72−82=8,972 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 82−122=4,528
Vypočítať ďaľší trojuholník