Trojuholník 7 8 9

Ostrouhlý rôznostranný trojuholník.

Strany: a = 7 b = 8 c = 9

Obsah trojuholníka: S = 26,833281573
Obvod trojuholníka: o = 24
Semiperimeter (poloobvod): s = 12

Uhol ∠ A = α = 48,19896851042° = 48°11'23″ = 0,84110686706 rad
Uhol ∠ B = β = 58,41218644948° = 58°24'43″ = 1,01994793577 rad
Uhol ∠ C = γ = 73,3988450401° = 73°23'54″ = 1,28110446254 rad

Výška trojuholníka: v_a = 7,667651878
Výška trojuholníka: v_b = 6,70882039325
Výška trojuholníka: v_c = 5,963284794

Ťažnica: t_a = 7,76220873481
Ťažnica: t_b = 7
Ťažnica: t_c = 6,02107972894

Polomer vpísanej kružnice: r = 2,23660679775
Polomer opísanej kružnice: R = 4,69657427527

Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[3,66766666667; 5,963284794]
Ťažisko: T[4,22222222222; 1,988761598]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 1,34216407865]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[4; 2,23660679775]

Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 131,81103148958° = 131°48'37″ = 0,84110686706 rad
∠ B' = β' = 121,58881355052° = 121°35'17″ = 1,01994793577 rad
∠ C' = γ' = 106,6021549599° = 106°36'6″ = 1,28110446254 rad

Vypočítať ďaľší trojuholník

Ako sme vypočítali tento trojuholník?

Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.

a = 7 b = 8 c = 9

1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán

o = a + b + c = 7 + 8 + 9 = 24

2. Polovičný obvod trojuholníka

Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.

s = \frac{o}{2} = \frac{2 4}{2} = 12

3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca

Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.

S = s (s - a) (s - b) (s - c) S = 12 (12 - 7) (12 - 8) (12 - 9) S = 720 = 26, 83

4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.

Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.

S = \frac{a v _{a}}{2} v_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{7} = 7, 67 v_{b} = \frac{2 S}{b} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{8} = 6, 71 v_{c} = \frac{2 S}{c} = \frac{2 \cdot 2 6 , 8 3}{9} = 5, 96

5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety

Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α α = arccos (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) = arccos (\frac{8 ^{2} + 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 8 \cdot 9}) = 48 ° 1 1^{'} 23 " b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos β β = arccos (\frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c}) = arccos (\frac{7 ^{2} + 9 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 9}) = 58 ° 2 4^{'} 43 " γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 48 ° 1 1^{'} 23 " - 58 ° 2 4^{'} 43 " = 73 ° 2 3^{'} 54 "

6. Polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.

S = r s r = \frac{S}{s} = \frac{2 6 , 8 3}{1 2} = 2, 24

7. Polomer opísanej kružnice

Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.

R = \frac{a b c}{4 r s} = \frac{7 \cdot 8 \cdot 9}{4 \cdot 2 , 2 3 6 \cdot 1 2} = 4, 7

8. Výpočet ťažníc

Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.

t_{a} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 8 ^{2} + 2 \cdot 9 ^{2} - 7 ^{2}}{2} = 7, 762 t_{b} = \frac{2 c ^{2} + 2 a ^{2} - b ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 9 ^{2} + 2 \cdot 7 ^{2} - 8 ^{2}}{2} = 7 t_{c} = \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2} - c ^{2}}{2} = \frac{2 \cdot 7 ^{2} + 2 \cdot 8 ^{2} - 9 ^{2}}{2} = 6, 021

Vypočítať ďaľší trojuholník