Trojuholník 7 9 15
Tupouhlý rôznostranný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 9 c = 15Obsah trojuholníka: S = 20,69326919467
Obvod trojuholníka: o = 31
Semiperimeter (poloobvod): s = 15,5
Uhol ∠ A = α = 17,85219455267° = 17°51'7″ = 0,31215752273 rad
Uhol ∠ B = β = 23,2132754908° = 23°12'46″ = 0,40551390016 rad
Uhol ∠ C = γ = 138,93552995653° = 138°56'7″ = 2,42548784247 rad
Výška trojuholníka: va = 5,91221976991
Výška trojuholníka: vb = 4,59883759882
Výška trojuholníka: vc = 2,75990255929
Ťažnica: ta = 11,86438105177
Ťažnica: tb = 10,80550913925
Ťažnica: tc = 2,95880398915
Polomer vpísanej kružnice: r = 1,33550123837
Polomer opísanej kružnice: R = 11,41770742313
Súradnice vrcholov: A[15; 0] B[0; 0] C[6,43333333333; 2,75990255929]
Ťažisko: T[7,14444444444; 0,92196751976]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[7,5; -8,60881115236]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 1,33550123837]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 162,14880544733° = 162°8'53″ = 0,31215752273 rad
∠ B' = β' = 156,7877245092° = 156°47'14″ = 0,40551390016 rad
∠ C' = γ' = 41,06547004347° = 41°3'53″ = 2,42548784247 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=9 c=15
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+9+15=31
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=231=15,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=15,5(15,5−7)(15,5−9)(15,5−15) S=428,19=20,69
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 20,69=5,91 vb=b2 S=92⋅ 20,69=4,6 vc=c2 S=152⋅ 20,69=2,76
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 1592+152−72)=17°51′7" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 1572+152−92)=23°12′46" γ=180°−α−β=180°−17°51′7"−23°12′46"=138°56′7"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=15,520,69=1,34
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 1,335⋅ 15,57⋅ 9⋅ 15=11,42
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 152−72=11,864 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 152+2⋅ 72−92=10,805 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−152=2,958
Vypočítať ďaľší trojuholník