Trojuholník 7 9 9
Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 7 b = 9 c = 9Obsah trojuholníka: S = 29,02204669156
Obvod trojuholníka: o = 25
Semiperimeter (poloobvod): s = 12,5
Uhol ∠ A = α = 45,77107609523° = 45°46'15″ = 0,79988504798 rad
Uhol ∠ B = β = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,17113710869 rad
Uhol ∠ C = γ = 67,11546195238° = 67°6'53″ = 1,17113710869 rad
Výška trojuholníka: va = 8,29215619759
Výška trojuholníka: vb = 6,44989926479
Výška trojuholníka: vc = 6,44989926479
Ťažnica: ta = 8,29215619759
Ťažnica: tb = 6,69895440801
Ťažnica: tc = 6,69895440801
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,32216373532
Polomer opísanej kružnice: R = 4,88444837822
Súradnice vrcholov: A[9; 0] B[0; 0] C[2,72222222222; 6,44989926479]
Ťažisko: T[3,90774074074; 2,1549664216]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[4,5; 1.98995214708]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[3,5; 2,32216373532]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 134,22992390477° = 134°13'45″ = 0,79988504798 rad
∠ B' = β' = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,17113710869 rad
∠ C' = γ' = 112,88553804762° = 112°53'7″ = 1,17113710869 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=7 b=9 c=9
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=7+9+9=25
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=225=12,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=12,5(12,5−7)(12,5−9)(12,5−9) S=842,19=29,02
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=72⋅ 29,02=8,29 vb=b2 S=92⋅ 29,02=6,45 vc=c2 S=92⋅ 29,02=6,45
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 9⋅ 992+92−72)=45°46′15" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 7⋅ 972+92−92)=67°6′53" γ=180°−α−β=180°−45°46′15"−67°6′53"=67°6′53"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=12,529,02=2,32
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,322⋅ 12,57⋅ 9⋅ 9=4,88
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 92+2⋅ 92−72=8,292 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 92+2⋅ 72−92=6,69 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 72+2⋅ 92−92=6,69
Vypočítať ďaľší trojuholník