Trojuholník 8 8 13
Tupouhlý rovnoramenný trojuholník.
Strany: a = 8 b = 8 c = 13Obsah trojuholníka: S = 30,31439819225
Obvod trojuholníka: o = 29
Semiperimeter (poloobvod): s = 14,5
Uhol ∠ A = α = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Uhol ∠ B = β = 35,65990876961° = 35°39'33″ = 0,62223684886 rad
Uhol ∠ C = γ = 108,68218246077° = 108°40'55″ = 1,89768556765 rad
Výška trojuholníka: va = 7,57884954806
Výška trojuholníka: vb = 7,57884954806
Výška trojuholníka: vc = 4,66436895265
Ťažnica: ta = 10,02549688279
Ťažnica: tb = 10,02549688279
Ťažnica: tc = 4,66436895265
Polomer vpísanej kružnice: r = 2,09106194429
Polomer opísanej kružnice: R = 6,8621520223
Súradnice vrcholov: A[13; 0] B[0; 0] C[6,5; 4,66436895265]
Ťažisko: T[6,5; 1,55545631755]
Súradnice stredu opísanej kružnice: U[6,5; -2,19878306964]
Súradnice stredu vpísanej kružnice: I[6,5; 2,09106194429]
Vonkajšie uhly trojuholníka:
∠ A' = α' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ B' = β' = 144,34109123039° = 144°20'27″ = 0,62223684886 rad
∠ C' = γ' = 71,31881753923° = 71°19'5″ = 1,89768556765 rad
Vypočítať ďaľší trojuholník
Ako sme vypočítali tento trojuholník?
Teraz, ked vieme dĺžky všetkých troch strán trojuholníka, trojuholník je jednoznačne určený.
a=8 b=8 c=13
1. Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho troch strán
o=a+b+c=8+8+13=29
2. Polovičný obvod trojuholníka
Polovičný obvod trojuholníka (semiperimeter) je polovica z jeho obvodu. Polovičný obvod trojuholníka sa vo vzorcoch pre trojuholníky často vyskytuje tak, že mu bol pridelený samostatný názov (semiperimeter - poloobvod - s). Trojuholníkova nerovnosť hovorí, že najdlhšia dĺžka strany trojuholníka musí byť menšia ako semiperimeter.s=2o=229=14,5
3. Obsah trojuholníka pomocou Herónovho vzorca
Herónov vzorec dáva obsah trojuholníka, keď sú známe dĺžky všetkých troch strán. Nie je potrebné najprv vypočítať uhly alebo iné vzdialenosti v trojuholníku. Herónov vzorec funguje rovnako dobre vo všetkých prípadoch a druhoch trojuholníkov.S=s(s−a)(s−b)(s−c) S=14,5(14,5−8)(14,5−8)(14,5−13) S=918,94=30,31
4. Výpočet výšiek trojuholníku z jeho obsahu.
Existuje veľa spôsobov, ako zistiť výšku trojuholníka. Najjednoduchší spôsob je zo vzorca, keď poznáme obsah a dĺžku základne. Plocha trojuholníka je polovicou súčinu dĺžky základne a výšky. Každá strana trojuholníka môže byť základňou; existujú teda tri základne a tri výšky. Výška trojuholníka je kolmá úsečka od vrcholu po priamku obsahujúcu základňu.S=2ava va=a2 S=82⋅ 30,31=7,58 vb=b2 S=82⋅ 30,31=7,58 vc=c2 S=132⋅ 30,31=4,66
5. Výpočet vnútorných uhlov trojuholníka pomocou kosínusovej vety
Kosínusová veta je užitočná pri hľadaní uhlov trojuholníka, keď poznáme všetky tri strany. Kosínusová veta spája všetky tri strany trojuholníka s uhlom trojuholníka. Kosínusová veta je extrapoláciou Pytagorovej vety pre akýkoľvek trojuholník. Pythagorova veta funguje iba v pravouhlom trojuholníku. Pythagorova veta je osobitným prípadom Kosínusovej vety a dá sa z neho odvodiť, pretože kosínus 90 ° je 0. Najlepšie je najskôr nájsť uhol oproti najdlhšej strane. V prípade kosínusovej vety neexistuje problém s tupými uhlami ako v prípade sínusovej vety, pretože funkcia kosínus je záporná pre tupé uhly, nulová pre pravé a kladná pre ostré uhly. Na určenie uhla z hodnoty kosínusu používame inverzný kosínus nazývaný arkuskosínus.a2=b2+c2−2bccosα α=arccos(2bcb2+c2−a2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1382+132−82)=35°39′33" b2=a2+c2−2accosβ β=arccos(2aca2+c2−b2)=arccos(2⋅ 8⋅ 1382+132−82)=35°39′33" γ=180°−α−β=180°−35°39′33"−35°39′33"=108°40′55"
6. Polomer vpísanej kružnice
Vpísaná kružnica v trojuholníku je kružnica (kruh), ktorý sa dotýka každej jeho strany. Všetky trojuholníky majú vpísanú kružnicu a jej stred vždy leží vo vnútri trojuholníka. Stred vpísanej kružnice je priesečník troch osí vnútorných uhlov (priesečník bisektorov). Súčin polomeru vpísanej kružnice a semiperimetru (polovice obvodu) trojuholníka je jeho plocha.S=rs r=sS=14,530,31=2,09
7. Polomer opísanej kružnice
Opísaná kružnica trojuholníka je kružnica, ktorá prechádza všetkými vrcholmi trojuholníka. Stred opísanej kružnice je bod, v ktorom sa pretínajú osi strán trojuholníka.R=4 rsabc=4⋅ 2,091⋅ 14,58⋅ 8⋅ 13=6,86
8. Výpočet ťažníc
Ťažnica (medián) trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol so stredom protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri ťažnice a všetky sa vzájomne pretínajú v ťažisku trojuholníka. Ťažisko rozdeľuje ťažnice na časti v pomere 2:1, pričom ťažisko je dvakrát bližšie k stredu strany ako protiľahlý vrchol. Apolloniusovu vetu používame na výpočet dĺžky ťažníc z dĺžok jeho strán.ta=22b2+2c2−a2=22⋅ 82+2⋅ 132−82=10,025 tb=22c2+2a2−b2=22⋅ 132+2⋅ 82−82=10,025 tc=22a2+2b2−c2=22⋅ 82+2⋅ 82−132=4,664
Vypočítať ďaľší trojuholník